MGI - Übungsblatt 5. Abgabe am 30.11. nach der Vorlesung. Am

MGI - Übungsblatt 5. Abgabe am 30.11. nach der Vorlesung. Am besten, sie bearbeiten das direkt auf diesem
Blatt! (wenn sie weniger als 4 Aufgaben sinnvoll,also ernsthaft bemüht, bearbeiten, zählt das Blatt nicht als
abgegeben).
Aufgabe 21. Gegeben sei die Relation ≡5 , die wie folgt definiert ist: für alle a, b ∈ N ist a ≡5 b genau dann,
wenn a − b ohne Rest durch 5 teilbar ist, d.h. wenn es ein k ∈ Z gibt, so dass (a − b) = k ∗ 5.
Zeigen Sie, dass ≡5 eine Äquivalenzrelation ist.
Aufgabe 22 (Einfache Eigenschaften von Funktionen).
Zeigen Sie: Ist f : A → B injektiv, so ist f : A → rng(f ) bijektiv.
Aufgabe 23 (Umkehrfunktion).
(i) Geben Sie die Umkehrfunktion f −1 zu f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)} an.
(ii) Geben Sie ein Beispiel für eine Funktion an, zu der keine Umkehrfunktion existiert.
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Aufgabe 24 (Verkettung und Einschränkung).
Seien f : A → B und g : B → C Funktionen und sei h = g ◦ f .
Zeigen Sie: Ist g| rng(f ) surjektiv nach C, so ist h surjektiv nach C.
Aufgabe 25 (Mengen und Funktionen).
Es folgt eine Aufgabe aus einer alten Klausur. Gegeben sind die folgenden Mengen:
A = {a, b, c, d}
B = {1, 3, 5, 7, 9, 10}
C = {d, e, f }
1. JA oder NEIN :
R1 = {(a, 1), (b, 3), (c, 5), (d, 7)} ist eine bijektive Funktion von A nach B.
2. JA oder NEIN :
R2 = R1 ∪ {(e, 10), (f, 9)} ist eine surjektive Funktion von A ∪ C nach B.
3. JA oder NEIN :
R3 = R2 |C ist eine umkehrbare Funktion.
4. JA oder NEIN :
rng(R1−1 ◦ R2 ) = A.
5. JA oder NEIN :
Sei f eine injektive Funktion. Dann ist f −1 eine bijektive Funktion von dom(f −1 ) nach dom(f ).
6. JA oder NEIN :
P = {{1, 10, 9}, {3, 5}, {1, 7, 9}, ∅} ist eine Zerlegung von B.
7. JA oder NEIN :
R4 = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c), (d, d)} ist eine Äquivalenzrelation auf A
und {a, b, c} und {d} sind die Äquivalenzklassen.
8. JA oder NEIN :
{{1, {2}}, {1}, {{2}}, ∅} ist die Potenzmenge der Menge {1, {2}}.
9. JA oder NEIN :
Jede surjektive Funktion von A nach B, die umkehrbar ist, ist bijektiv von A nach B.
10. JA oder NEIN :
Jede surjektive Funktion, die umkehrbar ist, ist bijektiv.
Aufgabe 26 (Logik). “Worin besteht das Geheimnis ihres langen Lebens?” wurde ein 100-jähriger gefragt. “Ich
halte mich streng an die folgenden Diätregeln: Wenn ich keinen Wein zu einer Mahlzeit trinke, dann habe ich
immer Fleisch. Immer, wenn ich Fleisch und Wein zur selben Mahlzeit habe, verzichte ich auf Schokopudding.
Wenn ich Schokopudding habe oder Wein meide, dann rühre ich Fleisch nicht an”. Der Fragende fand diesen
Ratschlag ziemlich verwirrend, können Sie ihn vereinfachen? (z.B. auf einer Rückseite bearbeiten oder ein extra
Blatt anhängen – denken sie daran: die Lösungen bekommen sie NICHT zurück!)
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