LDS - Übungsblatt 2. Aufgabe 10. Gegeben sein die Mengen A = {1

LDS - Übungsblatt 2.
Aufgabe 10. Gegeben sein die Mengen A = {1, 2, 3, 4} und B = {a, b, c, d}.
(i) Geben sie A × B und A × A an:
A×B =
A×A=
(ii) Geben Sie Beispiele für Relationen auf A an (für jede Relation R muss also gelten: R ⊆ A × A), die
• reflexiv:
• symmetrisch:
• transitiv:
sind.
(iii) Geben Sie Beispiele für Relationen R ⊆ A × B an, die
• keine Funktion
• injektiv
• surjektiv nach B, aber nicht injektiv
• bijektiv von A nach B
sind.
(iv) Schränken Sie jeweils ihre Funktionen auf {2, 3} ein (soweit möglich).
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Aufgabe 11 (Zerlegung). Hier noch die Formalisierung eines wichtigen Begriffs:
Definition: Sei A eine Menge. Weiter sei Π ⊆ P(A) eine Zerlegung von A, d.h. es gelte:
1. ∅ 6∈ Π
S
2.
Π=A
3. P ∩ Q = ∅ für alle P, Q ∈ Π mit P 6= Q
Zudem ist eine Relation ∼ wie folgt definiert: Für a, b ∈ A gilt (a, b) ∈ ∼ (bzw. a ∼ b in Infixschreibweise)
genau dann, wenn ein P ∈ Π existiert mit a, b ∈ P .
Man kann nun zeigen, dass die Relation ∼ eine Äquivalenzrelation ist und allgemein die Äquivalenzklassen jeder
Äquivalenzrelation auf einer beliebigen Menge A eine Zerlegung dieser Menge bilden. Uns reicht aber hier aus,
den Begriff Zerlegung besser zu verstehen:
1. Bilden Sie drei Zerlegungen der Menge {1, 2, 3, 4, 5}
2. Wieviele Zerlegungen der Menge {1, 2, 3, 4} kann man bilden?
3. Allgemein: Wieviele Zerlegungen kann man aus einer n-elementigen Menge bilden?
Zerlegungen können, wie alle Grundbegriffe, auch in den Ankreuzfragen auftauchen!
Aufgabe 12 (Mengen und Funktionen).
Es folgt eine Aufgabe aus einer alten Klausur. Gegeben sind die folgenden Mengen:
A = {a, b, c, d}
B = {1, 3, 5, 7, 9, 10}
C = {d, e, f }
1. JA oder NEIN :
R1 = {(a, 1), (b, 3), (c, 5), (d, 7)} ist eine bijektive Funktion von A nach B.
2. JA oder NEIN :
R2 = R1 ∪ {(e, 10), (f, 9)} ist eine surjektive Funktion von A ∪ C nach B.
3. JA oder NEIN :
R3 = R2 |C ist eine umkehrbare Funktion.
4. JA oder NEIN :
rng(R1−1 ◦ R2 ) = A.
5. JA oder NEIN :
Sei f eine injektive Funktion. Dann ist f −1 eine bijektive Funktion von dom(f −1 ) nach dom(f ).
6. JA oder NEIN :
P = {{1, 10, 9}, {3, 5}, {1, 7, 9}, ∅} ist eine Zerlegung von B.
7. JA oder NEIN :
R4 = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c), (d, d)} ist eine Äquivalenzrelation auf A
und {a, b, c} und {d} sind die Äquivalenzklassen. (Äquivalenzrelation: reflexiv, symmetrisch, transitiv)
8. JA oder NEIN :
{{1, {2}}, {1}, {{2}}, ∅} ist die Potenzmenge der Menge {1, {2}}.
9. JA oder NEIN :
Jede surjektive Funktion von A nach B, die umkehrbar ist, ist bijektiv von A nach B.
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Aufgabe 13 (Mengenlehre).
Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Behauptungen
a,b,c seien jeweils beliebige Mengen:
1. (a − b) ∪ c = (a ∪ c) − ((a ∩ b) − c)
2. (a ∪ (b ∩ c)) ∩ ((b ∪ c) − a) = ∅
3. (a ∪ (b ∩ c)) ∩ ((b ∪ c) − a) = (b ∩ c) − a
4. Die folgenden Ausdrücke sind äquivalent a ⊆ b, a − b = ∅, a ∩ b = a, a ∪ b = b
5. Es gilt (a − b) ∩ c = ∅ oder (a − b) ⊆ c
Aufgabe 14. Gibt es eine bijektive Abbildung von N × N nach N? Wenn ja, geben Sie diese an! Wenn nein,
begründen Sie!
Aufgabe 15. Gibt es eine bijektive Abbildung von N in die Potenzmenge P(A) von N? Wenn ja, geben Sie diese
an! Wenn nein, begründen Sie!
Aufgabe 16 (Logik: Aussagenlogik – Implikation – 5 Min.).
Gegeben seien 4 zweiseitig beschriftete Karten. Im Moment ist jeweils die Vorderseite der Karten zu sehen:
1 2 A B
Für jede der Karten gilt, dass sich auf der einen Seite ein Zahl befindet und auf der anderen ein Buchstabe (d.h.
z.B., dass sich auf der nicht zu sehenden Seite der oben dargestellten Karte 1 ein Buchstabe befindet).
Welche Karten muss man mindestens umdrehen, wenn man die Gültigkeit (d.h., die folgende Aussage muss für
jede Karte wahr sein) folgender Aussage überprüfen will:
Wenn sich auf einer Seite einer Karte eine gerade Zahl befindet, dann befindet
sich auf ihrer anderen Seite ein Vokal!
Wenn Sie die Aufgabe gelöst haben, dann notieren Sie einfach die sichtbare Beschriftung der umzudrehenden
Karten.
Aufgabe 17 (Logik: Quantoren – 5 Min.).
Schauen Sie sich einmal die folgende Behauptung an:
Alle Marsianer haben grüne Haare!
Nehmen Sie nun an, dass es gar keine Marsianer gibt. Sollte die obige Behauptung dann als „wahr“ oder „falsch“
(oder vielleicht noch anders?) eingestuft werden? Begründen Sie!
Beantworten Sie die gleichen Fragen für die folgende Behauptung (wieder unter der Annahme, dass es keine
Marsianer gibt):
Es gibt keinen Marsianer, der nicht grüne Haare hat!
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