Aufgabenblatt 4 - informatik.uni

Analysis I , WS 06/07
M. Hortmann
Blatt 4
1. Zur Definition der natürlichen Ordnung auf ℕ setzt man zunächst
ab : ⇔ ∃ x ∈ℕ: a x=b und dann ab :⇔a=b∨ab .
Nur unter Benutzung der obigen Definition, der Peano-Axiome, der rekursiven Definition der
Addition, sowie ggf. des Assoziativ- oder Kommutativgesetzes zeige man
a) daß ≤ eine totale Ordnung auf ℕ ist, daß also gilt:
1.
2.
3.
4.
∀ n∈ℕ: nn
∀ n , m∈ℕ : nm ∧ mn  n=m
∀ n , m , k ∈ℕ: nm ∧ mk   nk
∀ n , m∈ℕ : nm ∨ mn
b) Sind a , b∈ℕ und gibt es ein x ∈ℕ so daß a x=b , so ist x eindeutig bestimmt.
2. Ist M eine Menge, so heißt eine Relation ~ auf M Äquivalenzrelation, wenn
1. ∀ x ∈M : x ~ x
2. ∀ x , y ∈M : x ~ y  y ~ x
3. ∀ x , y , z ∈M :  x ~ y ∧ y ~ z   x ~ z
Man definiert die Äquivalenzklasse eines Elements x ∈M als x :={ y ∈M ∣x ~ y } . Es wurde
gezeigt, daß x ~ y ⇔ x= y und x≠ y ⇔ x∩ y=∅ . Die Äquivalenzklassen einer Äquivalenzrelation bilden also eine Zerlegung einer Menge in paarweise disjunkte Teilmengen.
Wir hatten die Menge der ganzen Zahlen ℤ definiert als Menge der Äquivalenzklassen bezüglich
n , m ~ n ' , m '  : ⇔ nm ' =n ' m und die
der folgenden Äquivalenzrelation auf ℕ×ℕ :
Multiplikation solcher Äquivalenzklassen durch n , m⋅a , b := namb , nbma .
Zeigen Sie
a) diese Multiplikation ist wohldefiniert, also unabhängig von den gewählten Repräsentanten, also
n , m=n ' , m '  und a , b=a ' , b '  ⇒ namb , nbma = n ' a ' m ' b ' , n ' b ' m ' a ' 
b) diese Multiplikation ist assoziativ, d.h.
 n1 , m1 ⋅n2 , m2 ⋅n3 , m3 =n1 , m1⋅n2 , m2 ⋅n3 , m3 
c) Das Nullelement in ℤ := {n , m∣n , m∈ℕ } ist gegeben durch 0 := 1,1 . Seien x , y ∈ℤ
und x⋅y=0 und x≠0 . Zeigen Sie, daß dann y=0 .
d) Eine ganze Zahl n , m heißt positiv, wenn mn . Zeigen Sie, daß diese Definition nicht
repräsentantenabhängig ist. Betrachten sie dann die Menge P der positiven ganzen Zahlen und
zeigen Sie daß die Abbildung  : ℕ  P , n  n1,1 bijektiv ist und daßfür alle n , m∈ℕ gilt
nm=nm und n⋅m=n⋅m
Bewertung: 1a, b, 2a, b, c, d gleichgewichtig.