Das Geheimnis der transzendenten Zahlen - Humboldt
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Von den natürlichen Zahlen über die ganzen Zahlen zu den rationalen Zahlen Humboldt-Universität zu Berlin Fachdidaktik Hauptseminar: Mathematik und Unterricht Dozentin: Dr. E. Warmuth Referenten: Nikolai Mäkitalo, Simson Bubbel Gliederung • Einleitung und historischer Kontext • Zahlenbereichserweiterung in der Universität • Zahlenbereichserweiterung in der Schule ▫ Konzept der Gegenzahl ▫ Modelle in Schulbüchern (Gruppenarbeit) ▫ Kleiner-Größer-Relation • Quellen „Die natürlichen Zahlen hat der liebe Gott geschaffen, alles andere ist Menschenwerk“ (Leopold Kronecker (1823-1891)) Zahlenbereichserweiterung in der Universität • Betrachtung von allen Zahlenpaaren aus natürlichen Zahlen Produkt zweier Mengen Äquivalenzrelation Es sei A eine Menge. Eine Teilmenge von heißt eine Äquivalenzrelation auf A, wenn gilt: • • aus • aus für alle (Reflexivität) folgt (Symmetrie) folgt (Transitivität) Gruppenarbeit • Beweisen Sie in ihrer Gruppe, dass eine Äquivalenzrelation ist. Jede Gruppe hat nur eine Bedingung zu beweisen und stellt den Beweis anschließend vor. Äquivalenzklassen • Für jedes Paar definieren wir die Menge: Das ist also die Menge aller Paare, die äquivalent zu sind. Man nennt diese Menge auch die Äquivalenzklasse von bezüglich der Relation und einen Repräsentanten dieser Klasse. Die Menge der ganzen Zahlen • Die Menge aller Äquivalenzklassen bezeichnen wir mit : von Die Addition • Die Addition wird wie folgt festgelegt: • Die Addition ist nicht abhängig von ihren Repräsentanten und somit wohldefiniert. • Ist die Addition uneingeschränkt durchführbar? Die Multiplikation • Die Multiplikation wird wie folgt festgelegt: • Die Multiplikation ist nicht abhängig von ihren Repräsentanten und somit wohldefiniert. • Ist die Multiplikation uneingeschränkt durchführbar? Wiedererkennung der „alten Zahlen“ • Für jede Äquivalenzklasse gibt es einen ausgezeichneten Repräsentanten, wenn wenigstens einer der beiden Zahlen a, b gleich 0 ist. Wiedererkennung der „alten Zahlen“ • Betrachtet man nun die Abbildung: • Dann ist • und . Wiedererkennung der „neuen Zahlen“ • Einführung einer neuen Schreibweise: für schreibt man kurz: – n Zahlenbereichserweiterung in der Schule Das Konzept der Gegenzahl Die Gegenzahl • Unter „-a“ versteht man die Zahl x, welche die Gleichung a + x = 0 löst. • „-a“ heißt Gegenzahl von a. • Aber: „-a“ muss keine negative Zahl sein, sondern ist eher zu verstehen als entgegengesetzte Zahl zu a. Bedeutung des Minuszeichens • Mit diesem Konzept ergibt sich eine neue Bedeutung für das Minuszeichen • Bekannte Bedeutungen: ▫ als Rechenzeichen bzw. Verknüpfung zweier Zahlen ▫ als Vorzeichen • Neue Bedeutung: ▫ als einstellige Rechenoperation, z.B. -x = 2 Die Addition • Definition: Für alle gelte . Assoziativgesetzt für die Addition • Der Beweis ist sehr umständlich auf Grund einer Vielzahl von Fallunterscheidungen: Padberg, 2001 Einzelarbeit • Bearbeitet die Aufgaben auf dem Arbeitsblatt. • Ziel ist es, selbständig einen Lösungsansatz für das Problem der Multiplikation zweier negativer Zahlen zu finden. Gruppenarbeit Quellen • Toenniessen, F. (2010). Das Geheimnis der transzendenten Zahlen. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag • Padberg, F. (2001). Zahlbereiche – Eine elementare Einführung. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag • Kirsch, A. (1997). Mathematik wirklich verstehen. Köln: Aulis Verlag Deubner • Karpfinger, C. & Meyberg, K. (2008). Algebra: Gruppen – Ringe – Körper. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag
