Das Geheimnis der transzendenten Zahlen - Humboldt

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Von den natürlichen Zahlen über die
ganzen Zahlen zu den rationalen Zahlen
Humboldt-Universität zu Berlin
Fachdidaktik Hauptseminar: Mathematik und Unterricht
Dozentin: Dr. E. Warmuth
Referenten: Nikolai Mäkitalo, Simson Bubbel
Gliederung
• Einleitung und historischer Kontext
• Zahlenbereichserweiterung in der Universität
• Zahlenbereichserweiterung in der Schule
▫ Konzept der Gegenzahl
▫ Modelle in Schulbüchern (Gruppenarbeit)
▫ Kleiner-Größer-Relation
• Quellen
„Die natürlichen Zahlen hat der liebe Gott
geschaffen, alles andere ist
Menschenwerk“
(Leopold Kronecker (1823-1891))
Zahlenbereichserweiterung in der Universität
• Betrachtung von allen Zahlenpaaren aus natürlichen
Zahlen
Produkt zweier Mengen
Äquivalenzrelation
Es sei A eine Menge. Eine Teilmenge
von
heißt eine Äquivalenzrelation auf A, wenn gilt:
•
• aus
• aus
für alle
(Reflexivität)
folgt
(Symmetrie)
folgt
(Transitivität)
Gruppenarbeit
• Beweisen Sie in ihrer Gruppe, dass
eine Äquivalenzrelation ist.
Jede Gruppe hat nur eine Bedingung zu beweisen
und stellt den Beweis anschließend vor.
Äquivalenzklassen
• Für jedes Paar
definieren wir die Menge:
Das ist also die Menge aller Paare, die äquivalent zu
sind.
Man nennt diese Menge auch die Äquivalenzklasse
von
bezüglich der Relation und
einen Repräsentanten dieser Klasse.
Die Menge der ganzen Zahlen
• Die Menge aller Äquivalenzklassen
bezeichnen wir mit :
von
Die Addition
• Die Addition wird wie folgt festgelegt:
• Die Addition ist nicht abhängig von ihren
Repräsentanten und somit wohldefiniert.
• Ist die Addition uneingeschränkt durchführbar?
Die Multiplikation
• Die Multiplikation wird wie folgt festgelegt:
• Die Multiplikation ist nicht abhängig von ihren
Repräsentanten und somit wohldefiniert.
• Ist die Multiplikation uneingeschränkt durchführbar?
Wiedererkennung der „alten Zahlen“
• Für jede Äquivalenzklasse
gibt es
einen ausgezeichneten Repräsentanten, wenn
wenigstens einer der beiden Zahlen a, b gleich 0 ist.
Wiedererkennung der „alten Zahlen“
• Betrachtet man nun die Abbildung:
• Dann ist
• und
.
Wiedererkennung der „neuen Zahlen“
• Einführung einer neuen Schreibweise:
für
schreibt man kurz: – n
Zahlenbereichserweiterung in der Schule
Das Konzept der Gegenzahl
Die Gegenzahl
• Unter „-a“ versteht man die Zahl x, welche die
Gleichung a + x = 0 löst.
• „-a“ heißt Gegenzahl von a.
• Aber: „-a“ muss keine negative Zahl sein, sondern ist
eher zu verstehen als entgegengesetzte Zahl zu a.
Bedeutung des Minuszeichens
• Mit diesem Konzept ergibt sich eine neue Bedeutung
für das Minuszeichen
• Bekannte Bedeutungen:
▫ als Rechenzeichen bzw. Verknüpfung zweier Zahlen
▫ als Vorzeichen
• Neue Bedeutung:
▫ als einstellige Rechenoperation, z.B. -x = 2
Die Addition
• Definition:
Für alle
gelte
.
Assoziativgesetzt für die Addition
• Der Beweis ist sehr umständlich auf Grund einer
Vielzahl von Fallunterscheidungen:
Padberg, 2001
Einzelarbeit
• Bearbeitet die Aufgaben auf dem Arbeitsblatt.
• Ziel ist es, selbständig einen Lösungsansatz für das
Problem der Multiplikation zweier negativer Zahlen
zu finden.
Gruppenarbeit
Quellen
• Toenniessen, F. (2010).
Das Geheimnis der transzendenten Zahlen.
Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag
• Padberg, F. (2001). Zahlbereiche – Eine elementare Einführung.
Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag
• Kirsch, A. (1997). Mathematik wirklich verstehen.
Köln: Aulis Verlag Deubner
• Karpfinger, C. & Meyberg, K. (2008).
Algebra: Gruppen – Ringe – Körper.
Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag
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