7. ¨Ubung zu ” Numerische Mathematik I“

INSTITUT FÜR MATHEMATIK DER UNIVERSITÄT WÜRZBURG
M. Dobrowolski
Würzburg, den 14.11.2014
7 . Übung zu Numerische Mathematik I“
”
7.1 (2+4) Eine unbegrenzte Integer-Arithmetik lässt sich durch Vektoren
a(1), . . . , a(n) von Integer-Zahlen a(i) realisieren. Nimmt man z.B. 1-Byte-Zahlen
a(i), so kann man, wenn das Vorzeichen-Bit nicht genutzt werden kann, die IntegerZahlen im 128er System darstellen. Eine Operation ist dann die Addition oder Multiplikation zweier Ziffern“.
”
a) Wie viele Operationen benötigt man asymptotisch in n zur Addition zweier
solcher Zahlen der Ziffernlänge n, wie viele für die Multiplikation, wenn man jeweils
den Grundschulalgorithmus verwendet?
b) In a) ist der Schulalgorithmus für die Addition nicht zu verbessern, die Multiplikation lässt sich allerdings fast auf die Operationszahl für die Addition herunterdrücken (durch einen besseren Algorithmus). Allerdings funktioniert das nur für die
Multiplikation, nicht für die Division. Gesucht ist also ein schneller Algorithmus für
die Division, der nur mit Additionen und Multiplikationen (jetzt aber in Gleitpunktarithmetik) auskommt. Geht man von einer Binärdarstellung aus, braucht man nur
die Division für a ∈ [1, 2]. Formulieren Sie das Newton-Verfahren zur Bestimmung
von 1/a und geben Sie einen Startwert der Form n2k , n ∈ , k ∈ , (keine Division!)
an und zeigen Sie die Konvergenz des Verfahrens.
N
7.2 (4) Gegeben seien a, b ∈
Z
R, a < b und y1, y2, y2′ , y3 ∈ R. Wir wählen die Knoten
x1 = a, x2 = (a + b)/2 und x3 = b.
Zeigen Sie, dass ein Interpolationspolynom p ∈
P3 existiert mit
p(x1 ) = y1 , p(x2 ) = y2 , p′ (x2 ) = y2′ , und p(x3 ) = y3 .
7.3 (2) Sei f (x) = sin x auf einem beliebigen beschränkten Intervall [a, b] definiert.
Für eine Folge von paarweise verschiedenen Punkten x0 , x1 , . . . ∈ [a, b] seien pn ∈ n
die Interpolationspolynome mit pn (xi ) = f (xi ) für i = 0, . . . , n. Man zeige, dass die
pn gleichmäßig gegen f in [a, b] konvergieren.
P
7.4 (2+2+4) Seien xi = ih, i ∈
schenweite h > 0.
Z, die Punkte des unendlichen Gitters mit Ma-
a) Für Daten yi = f (xi ) stelle man Dk f (x) = Dk (y) = [x0 , . . . , xk ] =
explizit auf für k = 1, 2, 3, 4.
b) Man bestimme Zahlen dk , k ∈
Grad ≤ k (Beweis!).
Pk
i=0
ak,i yi
N, so dass dk Dk p(x) = p(k) für alle Polynome vom
c) Für geradzahliges k lokalisieren wir die Stützstellen in x−k/2 , . . . xk/2 , also
Dk f (x) = Dk (y) =
k/2
X
i=−k/2
ak,i f (xi )
R
. Für k = 2, 4 zeige man: Für alle f ∈ C k+2 ( ) gilt
|dk Dk f (x) − f (k) (0)| ≤ c(f )h2 .
R1
7.5 (2+2+2) Zur näherungsweisen Berechnung des Integrals I(f ) = −1 f (x) dx
werden die abgeschlosssenen Newton-Cotes Formeln mit einer ungeraden Anzahl
m = 2l + 1, l ∈ , äquidistanter Knoten betrachtet, wobei x1 = −1 und xm = 1 sei.
N
a) Überlegen Sie sich, dass xm+1−i = −xi für i = 1, . . . , m gilt.
b) Zeigen Sie, dass auch die Gewichte symmetrisch sind, dass also wm+1−i = wi , für
i = 1, . . . , m, gilt.
c) Man zeige für diesen Spezialfall, dass die Newton-Cotes Formeln mit ungerader
Anzahl Knoten m = 2l + 1 sogar auf den Polynomen vom Grad ≤ m exakt sind.