Institut für Mathematik Dr. rer. nat. habil. H. Winkler (Curiebau C 231), Dipl.-Math. M. Vielitz, M.Sc. M. Kellner WS 2012/13 Analysis I 8. Serie Bestimme alle reellen Zahlen x, für die gilt: x+3 1 >3; |1 + x| < 1−x ; b) 2x−5 Aufgabe* 43 a) c) x2 − |x + 2| ≥ 4 ; Aufgabe* 44 d) |x + 1| − |x + 3| < 1 . Betrachte die folgenden Abbildungen: k · k1 : Rn → R, (x1 , ..., xn ) 7→ n X i=1 |xi |, k · k∞ : Rn → R, (x1 , ..., xn ) 7→ max{|x1 |, ..., |xn |}. ( k(x1 , x2 )k∞ , x2 > 0 k · kn : R2 → R, (x1 , x2 ) 7→ k(x1 , x2 )k1 , x2 ≤ 0. (a) Zeige, dass k · k1 und k · k∞ Normen sind. (b) Ist k · kn ebenfalls eine Norm? (c) Skizziere die Einheitskreise S(0; 1) bezüglich der „Normen“ k · k1 , k · k2 , k · kn und k · k∞ im Falle n = 2. (d) Die Zahl π wird aus dem Quotienten des Umfanges des Kreises U und des Durchmessers des Kreises d := sup {||x − y||} bestimmt: π = U/d. Berechne die Zahl x,y∈S(0;1) π für die Kreise in den normierten Räumen (R2 , || · ||1 ) und (R2 , || · ||∞ ). (e) Zeige weiterhin für beliebiges n ∈ N ∀ x ∈ Rn : kxk∞ ≤ kxk2 ≤ kxk1 . Anmerkung: In einem normierten Raum V mit Norm k · k ist der Einheitskreis S(0; 1) die Menge { v ∈ V | kvk = 1 }. Aufgabe* 45 Konstruiere im R2 (a) unter Benutzung der Betragssummennorm eine Ellipse mit den Elementen F1 := (−3, 0), F2 := (3, 0), a := 5. Zur Erinnerung: eine Ellipse ist der geometrische Ort aller Punkte x ∈ R2 , für die die Summe der Abstände von zwei festen Punkten F1 und F2 (den Fixpunkten) konstant (= 2a) ist. In Form der Mengenschreibweise: Ellipse := {x ∈ R2 | ||x − F1 || + ||x − F2 || = 2a}, 1 (b) unter Benutzung der Maximummetrik die Mittelsenkrechten zu den Punktpaaren (0, 0), (1, 0); (0, 0), (1, 1) und (0, 0), (1, 21 ). Zur Erinnerung: die Mittelsenkrechte zweier Punkte a, b ∈ R2 ist der geometrische Ort aller Punkte x ∈ R2 für welche die Abstände zu a und b gleich sind. In Form der Mengenschreibweise: Mittelsenkrechte := {x ∈ R2 | ||x − a|| = ||x − b||}, Aufgabe 46 Wir statten den n-dimensionalen Vektorraum Rn , n ∈ N mit der euklidischen Norm || · ||2 aus. Zeige, dass für alle x, y ∈ Rn die Parallelogrammgleichung 2(||x||22 + ||y||22 ) = ||x + y||22 + ||x − y||22 erfüllt ist. Aufgabe 47 √ √ Wir betrachten Q( 2) := {a + b 2 | a, b ∈ Q} als Teilmenge der reellen Zahlen und können so Addition und Multiplikation auf diese Menge in bekannter Weise erklären. √ Eine weitere Möglichkeit die Addition und Multiplikation zu erklären, besteht darin Q( 2) als Teilmenge von Q × Q aufzufassen und dort die folgenden Operationen einzuführen: ⊕ : Q2 × Q2 → Q2 , (p, q), (u, v) 7→ (p + u, q + v), ⊙ : Q2 × Q2 → Q2 , (p, q), (u, v) 7→ (pu + 2qv, pv + qu). (a) Zeige, dass die √ beiden Definitionen äquivalent sind, d.h. dass ein Isomorphismus zwischen (Q( 2), +, ·) und (Q2 , ⊕, ⊙) existiert. √ (b) Zeige weiterhin, dass Q( 2) ein Körper ist. (c) Vergleiche die Definitionen der Addition ⊕ und der Multiplikation ⊙ mit der Addition und Multiplikation auf C (vgl. Aufgabe 35, Serie 6) Aufgabe 48 Wir definieren die Potenzen mit rationalen Exponenten, indem wir für a ∈ R+ und r := pq mit p, q ∈ N √ q 1 ar setzen. Weiterhin gilt bekanntermaßen a0 = 1 und 0r = 0 für r > 0. Beweise die folgenden Potenzregeln für a, b ∈ R+ und r, s ∈ Q. ar := ap und a−r := (a) ar as = ar+s ; (b) ar as (c) (ar )s = ars ; (d) ar br = (ab)r ; (e) ar br (f) a < b ⇔ ar < br , falls r > 0 ; (g) a < b ⇔ ar > br , falls r < 0 ; (h) ar < as ⇔ a > 1, falls r < s ; (i) ar > as ⇔ a < 1, falls r < s . = a r b = ar−s ; ; Die mit * markierten Aufgaben sind als Hausaufgaben zu bearbeiten und vor der nächsten Übung am 26.11.12 abzugeben. Die restlichen Aufgaben sind so vorzubereiten, dass diese an der Tafel vorgestellt werden können. 2