Wahlpflichtfach Mathematik 2 Abstrakte Algebra Algebraische

Wahlpflichtfach Mathematik 2
Abstrakte Algebra
Algebraische Strukturen – Übungsblatt
Bearbeitet folgende Aufgaben alleine oder zu zweit. Dokumentiert eure Arbeit genau und
übersichtlich!
Achtung: Die Schwierigkeitsgrade variieren stark!
1. Zwischen den verschiedenen algebraischen Strukturen bestehen Zusammenhänge, z.B. ist
jede Gruppe eine besondere Halbgruppe. Stellt diese Zusammenhänge in einem Diagramm
dar.
2. Welche Struktur liegt vor? Begründe!
a) natürliche Zahlen gemeinsam mit der Addition
b) ganze Zahlen gemeinsam mit der Addition
c) natürliche Zahlen gemeinsam mit der Multiplikation
d) ganze Zahlen gemeinsam mit der Multiplikation
3. Welche Struktur liegt vor? Begründe!
a) natürliche Zahlen gemeinsam mit der Addition und Multiplikation
b) ganze Zahlen gemeinsam mit der Addition und Multiplikation
c) rationale Zahlen gemeinsam mit der Addition und Multiplikation
d)reelle Zahlen gemeinsam mit der Addition und Multiplikation
4.
ℤ5={0 , 1 , 2 , 3 , 4 } bildet gemeinsam mit der Addition und Multiplikation modulo 5 den
sogenannten Restklassenring modulo 5. Stelle die Operationstafeln für die Addition und
Multiplikation auf! Liegt wirklich ein Ring vor?
5. Sei A die Menge aller 2×2 -Matrizen der Form
 
a b
0 0
mit a , b∈ℤ .
a) Zeige, dass A bezüglich der Matrizenmultiplikation eine Halbgruppe bildet.
b) Zeige, dass es unendlich viele linksneutrale Elemente, aber kein rechtsneutrales Element
gibt.
6. Zeige, dass ⟨ℚ∖ {−1},° ⟩ mit a ° b :=abab eine abelsche Gruppe bildet!
7. Sei A :={rs  p /r , s∈ℚ , r s ≠0} für eine feste Primzahl p. Zeige, dass A mit der
gewöhnlichen Multiplikation eine Gruppe bildet.
2
2

8. Sei m eine feste natürliche Zahl und ℤm :={
. In ℤm ist eine
0 , 1 ,... , m−1}
Verknüpfung
∗ definiert durch: a∗b :=
ab
ab−m
falls abm
falls abm
Zeige, dass ⟨ ℤm ,∗ ⟩ eine abelsche Gruppe ist!
9. Definiert auf {e , a , b , c , d , f } eine Gruppenoperation ° so, dass e das neutrale
Element wird und die Beziehungen a 2 =b 3 =e und ab=b 2 a gelten.
10. Zeige, dass für eine Primzahl p die Menge A :={ab  p /a , b∈ℤ} mit der
gewöhnlichen Addition und Multiplikation reeller Zahlen einen Integritätsbereich bildet.
Literatur: G. Eigenthaler, Begleitmaterial zur Vorlesung Algebra
© Anita Dorfmayr, Oktober 2007