2. Das Rechnen mit ganzen Zahlen

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Chr.Nelius : Zahlentheorie (SoSe 2017)
§ 2. Das Rechnen mit ganzen Zahlen
Eine Zusammenstellung
Z
Z
Wir gehen davon aus, dass die Menge
der ganzen Zahlen gegeben ist. Auf
gibt es zwei
Rechenoperationen, die Addition und die Multiplikation. Die Grundrechenregeln für diese
Rechenoperationen sind im folgenden zusammengestellt. Aus ihnen lassen sich alle weiteren
Rechenregeln herleiten.
Z
(2.1) Grundrechenregeln in ( , +, ·)
a)
Für die Addition gilt:
0) Für alle a, b ∈ gilt: a + b ∈
1) Für alle a, b ∈ gilt: a + b = b + a (Kommutativgesetz der Addition)
2) Für alle a, b, c ∈ gilt: (a + b) + c = a + (b + c)
(Assoziativgesetz der Addition)
3) Für alle a ∈ gilt: a + 0 = a (Existenz eines Nullelementes)
4) Zu jedem a ∈ gibt es ein b ∈ mit a + b = 0 Bezeichnung: b =: −a
(Zu jeder Zahl existiert eine negative Zahl)
Z
Z
Z
Z
Z
Z
b)
Z
Für die Multiplikation gilt:
0) Für alle a, b ∈ gilt: a · b ∈
1) Für alle a, b ∈ gilt: a · b = b · a (Kommutativgesetz der Multiplikation)
2) Für alle a, b, c ∈ gilt: (a · b) · c = a · (b · c)
(Assoziativgesetz der Multiplikation)
3) Für alle a ∈ gilt: 1 · a = a (Existenz eines Einselementes)
Z
Z
Z
Z
Z
c)
Distributivgesetz
Für alle a, b, c ∈
Z gilt:
(a + b) · c = (a · c) + (b · c)
(2.2) BEM: a) Der wesentliche Unterschied zwischen Addition und Multiplikation besteht
darin, dass die Addition die Regel 4) in (2.1a) erfüllt, die Multiplikation aber keine entsprechende
Eigenschaft besitzt. Das hat zur Konsequenz, dass man in nicht “dividieren” kann und dass
man zur Behebung dieses Mangels die rationalen Zahlen konstruieren muss.
Z
b) Es wird vereinbart: “Punktrechnung geht vor Strichrechnung”
Das Distributivgesetz (2.1c) schreibt sich damit in der Form: (a + b) · c = a · c + b · c .
c) Man setzt: a · b =: a b . Damit schreibt sich (2.1c) in der Form (a + b)c = ac + bc .
d) Die Differenz a−b zweier ganzer Zahlen a und b ist definiert durch a−b := a+(−b) .
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(2.3) SATZ: a) Kürzungsregel der Addition
Z gilt: (a + b = a + c)
für alle a ∈ Z .
Für alle a, b, c ∈
b) Es gilt 0 · a = 0
=⇒ (b = c)
(2.4) SATZ: a) Kürzungsregel der Multiplikation
Für alle a, b, c ∈
b) Für alle a, b ∈
Z gilt:
(a · b = a · c und a 6= 0) =⇒ (b = c)
Z gilt: (a · b = 0)
=⇒
(a = 0 oder b = 0) .
(2.5) SATZ: Vorzeichenregeln
Für alle a, b ∈
Z gilt:
a) (−a) · b = − (a · b)
b) a · (−b) = − (a · b)
c) (−a) · (−b) = a · b .
Seien a ∈
(2.6) DEF:
durch
Z und n ∈ N
0
. Die n–te Potenz an von a ist rekursiv definiert
a0 := 1
an := an−1 · a (n ≥ 1)
(2.7) SATZ: Potenzgesetze
Seien a, b ∈
Z und m, n ∈ N
0
. Dann gilt:
a) am · an = am+n
b) (a · b)n = an · bn
c) (am )n = am·n
(2.8) SATZ: Eigenschaften des Betrages
Für alle a, b ∈
Z gilt:
a) | a | ≥ 0
b) | a | = 0
⇐⇒
a=0
c) | a · b | = | a | · | b |
d) | a + b | ≤ | a | + | b |
(Dreiecksungleichung) .
BEM: Die hier angegebenen Rechenregeln gelten allgemeiner sogar für reelle Zahlen.
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Zum Abschluss dieses Paragraphen wollen wir uns mit einigen Sprech– und Bezeichnungsweisen
der Aussagenlogik vertraut machen.
(2.9) Einige Sprech– und Bezeichnungsweisen der Aussagenlogik
A und B seien zwei (mathematische) Aussagen. Sätze der Mathematik sind meistens von der
Form
Aus der Richtigkeit der Aussage A folgt die Richtigkeit der Aussage B,
d.h. A ist die Voraussetzung des Satzes und B die Behauptung. Solch eine Folgerung stellt
man symbolisch durch
A =⇒ B
dar und nennt diese Aussage eine Implikation. Lesarten für A =⇒ B sind
“Aus A folgt B”
oder
oder “A ist hinreichend für B”
“Wenn A, dann B”
oder
“B ist notwendig für A”
In manchen Fällen gilt bei einer Implikation “A =⇒ B” auch die Umkehrung “B =⇒ A” .
Man spricht dann von einer Äquivalenz der beiden Aussagen A und B und schreibt dafür
A ⇐⇒ B
Lesarten hierfür sind:
“A ist äquivalent zu B”
oder
“A gilt genau dann, wenn B gilt”
oder “A ist notwendig und hinreichend für B”
Achtung: Für den Beweis einer Äquivalenz “A ⇐⇒ B” muss man in der
Regel zwei Beweise führen, nämlich einmal den Beweis für “A =⇒ B” und zum
anderen den für “B =⇒ A” !
!