Lösungsvorschlag

MATHEMATISCHES INSTITUT
DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Dr. E. Schörner
WS 2012/13
Blatt 3
07.11.2012
Übungen zur Vorlesung
Grundlagen der Mathematik I“
”
— Lösungsvorschlag —
9. a) Es gilt
a
c
=
⇐⇒ a · b−1 = c · d−1 ⇐⇒ (a · b−1 ) · (b · d) = (c · d−1 ) · (b · d)
b·d6=0
b
d
−1
−1
⇐⇒ a · (b · b) · d = c · (d · d) · b ⇐⇒ a · 1 · d = c · 1 · b ⇐⇒ a · d = b · c.
b) Es ist
a·d
= (a · d) · (b · d)−1 = (a · d) · (b−1 · d−1 ) =
b·d
a
= a · (d · d−1 ) · b−1 = a · 1 · b−1 = a · b−1 = .
b
c) Es ist
a·d b·c
a c
± =
±
= (a · d) · (b · d)−1 ± (b · c) · (b · d)−1 =
b d
b·d b·d
= (a · d ± b · c) · (b · d)−1 =
a·d±c·b
.
b·d
d) Es ist
a c
a·c
· = (a · b−1 ) · (c · d−1 ) = (a · c) · (b−1 · d−1 ) = (a · c) · (b · d)−1 =
.
b d
b·d
e) Es ist
a c
a c −1
= (a · b−1 ) · (c · d−1 )−1 = (a · b−1 ) · (c−1 · (d−1 )−1 ) =
÷ = ·
b d
b
d
a·d
= (a · b−1 ) · (c−1 · d) = (a · d) · (b−1 · c−1 ) = (a · d) · (b · c)−1 =
.
b·c
10. a) Für alle x ∈ Q \ {−2, 25 } gilt:
x ∈ L1
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
x+1
8 − 3x
+1=
x+2
5 − 2x
8 − 3x
(x + 1) + (x + 2)
=
x+2
5 − 2x
(2 x + 3) · (5 − 2 x) = (x + 2) · (8 − 3 x)
10 x − 4 x2 + 15 − 6 x = 8 x − 3 x2 + 16 − 6 x
−4 x2 + 4 x + 15 = −3 x2 + 2 x + 16
−x2 + 2 x − 1 = 0
x2 − 2 x + 1 = 0
(x − 1)2 = 0
x = 1;
damit ergibt sich für L1 = {1}.
b) Für alle x ∈ [1; ∞[ gilt
p
√
x ∈ L2 =⇒
3 (x − 1) − 2 x − 1 = 1
p
√
=⇒
3 (x − 1) = 1 + 2 x − 1
p
√
2
2
3 (x − 1) = 1 + 2 x − 1
=⇒
√
=⇒ 3 (x − 1) = 1 + 2 2 x − 1 + (2 x − 1)
√
=⇒ 3 x − 3 = 2 x + 2 2 x − 1
√
=⇒ x − 3 = 2 2 x − 1
√
2
=⇒ (x − 3)2 = 2 2 x − 1
=⇒ x2 − 6 x + 9 = 4 (2 x − 1)
=⇒ x2 − 14 x + 13 = 0
√
√
14 ± 144
14 ± 12
14 ± 142 − 4 · 13
=
=
;
=⇒ x =
2
2
2
damit gilt L2 ⊆ {1; 13}. Wegen
p
√
√
√
3 (1 − 1) − 2 · 1 − 1 = 0 − 1 = 0 − 1 = −1 6= 1
und
p
√
√
√
3 (13 − 1) − 2 · 13 − 1 = 36 − 25 = 6 − 5 = 1 = 1
ist 1 ∈
/ L2 und 13 ∈ L2 ; folglich ist L2 = {13}.
11. Für einen beliebigen Körper (K, +, ·) betrachten wir zwei Elemente a, b ∈ K.
Für die Herleitung der Formel (a + b)3 = a3 + 3 a2 b + 3 a2 b + b3 ergibt sich
(a + b)3 = ((a + b) · (a + b)) · (a + b)
= (a · a + a · b + b · a + b · b) · (a + b)
(1)
= a2 + 2 a b + b2 · (a + b)
(2)
= a2 · a + a2 · b + 2 a b · a + 2 a b · b + b 2 · a + b 2 · b
(3)
= a3 + a2 b + 2 a2 b + 2 a b2 + a b2 + b3
(4)
= a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + b3 .
(5)
Dabei gehen die folgenden Körperaxiome ein:
(1) Distributivgesetze und Assoziativgesetz der Addition
(2) Kommutativgesetz der Multiplikation und Distributivgesetz mit 2 = 1 + 1.
(3) Distributivgesetze und Assoziativgesetz der Addition
(4) Assoziativgesetz und Kommutativgesetz der Multiplikation
(5) Distributivgesetz mit 3 = 1 + 2 und 3 = 2 + 1
Für die Herleitung der Formel a3 + b3 = (a + b) (a2 − a · b + b2 ) ergibt sich unter
der Voraussetzung der Assoziativität der Addition
(a + b) (a2 − a b + b2 ) = (a + b) · a2 − (a + b) · a b + (a + b) · b2
(1)
= a · a2 + b · a2 − a · a b − b · a b + a · b 2 + b · b 2
(2)
= a3 + a2 b − a2 b − a b2 + a b2 + b3
(3)
= a3 + b 3 .
(4)
Dabei gehen die folgenden Körperaxiome ein:
(1) Distributivgesetz (auch für die Differenz)
(2) Distributivgesetz
(3) Assoziativgesetz und Kommutativgesetz der Multiplikation
(4) Rolle der negativen Elemente und des Nullelements
12. Für den Körper (R, +, ·) der reellen Zahlen ist die Teilmenge
o
n
√
K = a + b 2 | a, b ∈ Q
zu betrachten; eine reelle Zahl√x ∈ R ist damit genau dann ein Element von K,
wenn es die Gestalt x = a + b 2 mit rationalen Zahlen a, b ∈ Q besitzt.
√
√
a) Für x = a + b 2 ∈ K und y = c + d 2 ∈ K mit a, b, c, d ∈ Q gilt
√ √ √
x + y = a + b 2 + c + d 2 = (a + c) + (b + d) 2
sowie
√ √
√
√
√
√ x·y = a+b 2 · c+d 2 =a·c+a·d 2+b 2·c+b 2·d 2=
√
√
√
= a c + a d 2 + b c 2 + 2 b d = (a c + 2 b d) + (a d + b c) 2;
da Q bezüglich + und · abgeschlossen ist, ergibt sich für a, b, c, d ∈ Q auch
a + c, b + d ∈ Q sowie a c + 2 b d, a d + b c ∈ Q und damit
√
x + y = (a + c) + (b + d) 2 ∈ K
| {z } | {z }
∈Q
sowie
∈Q
√
x · y = (a c + 2 b d) + (a d + b c) 2 ∈ K.
{z
} | {z }
|
∈Q
∈Q
b) Für alle a ∈ Q gilt wegen 0 ∈ Q schon
a=a+0·
√
2 ∈ K;
damit ist Q ⊆ K, weswegen K die bereits in Q liegenden Elemente 0 (Nullelement als neutrales Element der Addition) und 1 (Einselement als neutrales Element der Multiplikation) enthält.
√
√
Für alle x ∈ K gibt es a, b ∈ Q mit x = a + b 2, und wegen a, b, 2 ∈ R
folgt schon
√
x = a + b · 2 ∈ R;
damit ist K ⊆ R, weswegen sich alle sogar auf ganz R gültigen Rechengesetze
(Assoziativgesetz und Kommutativgesetz der Addition und der Multiplikation sowie die beiden Distributivgesetze) auf K übertragen.
√
Für jedes x ∈ K gibt es schließlich a, b ∈ Q mit x = a + b 2, so daß wegen
−a, −b ∈ Q auch
√ √
√
−a + (−b) 2 ∈ K
−x = − a + b 2 = −a − b 2 = |{z}
|{z}
∈Q
∈Q
liegt.
c) Für alle a, b ∈ Q gilt mit der dritten binomischen Formel
√ √ √
a + b 2 · a − b 2 = a2 − (b 2)2 = a2 − 2 b2 .
√
Für jedes x ∈ K \ {0} gibt es nun a, b ∈ Q mit x = a + b 2, und wir
betrachten die beiden folgenden Fälle:
• Für b = 0 ist 0 6= x = a ∈ Q und damit auch x1 = a1 ∈ Q, wegen Q ⊆ K
also insbesondere x1 ∈ K.
√
√
/ Q insbesondere ab 6= 2, also
• Für b 6= 0 gilt wegen ab ∈ Q und 2 ∈
√
√
a 6= b 2 bzw. a − b 2 6= 0, so daß sich unter Verwendung der eben
durchgeführten Rechnung
√
√
1
1
1
a−b 2
a−b 2
√ =
√ ·
√ =
√ √ =
=
x
a+b 2
a+b 2 a−b 2
a+b 2 a−b 2
√
√
a−b 2
a
−b
= 2
=
+
·
2∈K
2
2
2
a − 2 b2 |a2 −
{z2 b } |a −
{z2 b }
∈Q
∈Q
ergibt.
d) Auf der Menge K mit den beiden ausgezeichneten Elementen 0 6= 1 ist
eine Addition + und eine Multiplikation · definiert, die gemäß a) innere
Verknüpfungen auf K darstellen.
• Gemäß b) sind das Assoziativgesetz und das Kommutativgesetz der
Addition erfüllt und es existiert das Nullelement 0 ∈ K sowie zu jedem
x ∈ K das negative Element −x ∈ K.
• Gemäß b) sind das Assoziativgesetz und das Kommutativgesetz der
Multiplikation erfüllt und es existiert das Einselement 1 ∈ K; ferner
gibt es gemäß c) zu jedem x ∈ K \ {0} das reziproke Element x1 ∈ K.
• Gemäß b) sind die beiden Distributivgesetze erfüllt.