Vorzeichenregeln Rechenregeln

Vorzeichenregeln
a) Zwei gleiche Vorzeichen vor einer Zahl werden durch ein Pluszeichen,
zwei verschiedene durch ein Minuszeichen ersetzt:
a + (+b) = a + b
Bsp:
3 + (+5) = 3 + 5 = 8
a − (−b) = a + b
3 − (−5) = 3 + 5 = 8
a + (−b) = a − b
3 + (−5) = 3 − 5 = −2
a − (+b) = a − b
3 − (+5) = 3 − 5 = −2
b) Bei der Multiplikation (bzw. Division) zweier Zahlen mit gleichen
Vorzeichen erhält man eine positive Zahl, bei zwei verschiedenen
Vorzeichen eine negative Zahl:
(+a)·(+b) = + (a·b)
Bsp:
(+3)·(+5) = + (3·5) = +15
(−a)·(−b) = + (a·b)
(−3)·(−5) = + (3·5) = +15
(+a)·(−b) = − (a·b)
(+3)·(−5) = − (3·5) = −15
(−a)·(+b) = − (a·b)
(−3)·(+5) = − (3·5) = −15
c) Steht vor einer Klammer mit einer Summe bzw. Differenz ein
Minuszeichen (bzw. ein negativer Faktor), so drehen sich beim Auflösen
der Klammer sämtliche (Vor-)Zeichen in der Klammer um.
Steht vor der Klammer ein Pluszeichen (bzw. ein positiver Faktor), so
bleiben beim Auflösen der Klammer die (Vor-)Zeichen erhalten.
Bsp: − (a + b − c) = −a − b + c
− (−a − b + c) = a + b − c
−a·(b + c − d) = − a·b − a·c + a·d
−a·(−b − c + d) = a·b + a·c − a·d
Rechenregeln
Reihenfolge der Rechenoperationen:
− Klammern zuerst
− Potenzrechnung vor Punktrechnung vor Strichrechnung
(K) Kommutativgesetz
a+b=b+a
a·b=b·a
Bsp: 5 + 4 = 4 + 5
(Addition)
(Multiplikation)
5·4=4·5
aber: 5 − 4 = 1 und 4 − 5 = −1
d.h. 5 − 4 ≠ 4 − 5
(A) Assoziativgesetz
(a + b) + c = a + (b + c)
(a · b) · c = a · (b · c)
(D) Distributivgesetz
a · (b + c) = a · b + a · c
(Addition)
Bsp: (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6
1 + (2 + 3) = 1 + 5 = 6
(Multiplikation)
(2 · 3) · 4 = 6 · 4 = 24
2 · (3 · 4) = 2 · 12 = 24
Bsp: 2 · (3 + 4) = 2 · 7 = 14
2 · 3 + 2 · 4 = 6 + 8 = 14
Rechnen mit 0 und 1:
(n) neutrale Elemente
a+0=0+a=a
a·1=1·a=a
(Addition: 0)
(Multiplikation: 1)
(i) inverse Elemente
a + (−a) = a − a = (−a) + a = 0
(Addition: −a)
a· 1= 1·a= 1
a a
(Multiplikation: 1 )
a
0 : a = 0 (a ≠ 0)
Durch 0 darf man
nicht dividieren!
0 − a = −a
a·0=0·a=0
a · (−1) = (−1) · a = −a
a·b=0⇒a=0∨b= 0
a−0=a