Ergänzungen zur Linearen Algebra II (für - sigma

Ergänzungen zur Linearen Algebra II
(für Lehramtsstudierende)
Vorlesung 01
07.04.2006
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Konstruktion der ganzen und rationalen Zahlen; Quotientenkörper
1
Von N nach Z
N = {1, 2, 3, . . . } wird als gegeben vorausgesetzt.
• Was ist eine ganze Zahl?
• Differenz zweier natürlicher Zahlen: 1 − 3, 4 − 2, 5 − 5, 3 − 5, . . . , a − b. Abstraktion zu Zahlenpaaren
(Minuend, Subtrahent): (1, 3), (4, 2), (5, 5), (3, 5), . . . , (a, b).
• (1, 3), (3, 5) stellen dieselbe ganze Zahl dar.
• Äquivalenzrelation ∼ auf N × N: (a, b) ∼ (c, d) :⇔ a + d = b + c.
– Reflexiv: (a, b) ∼ (a, b) ⇔ a + b = b + a.
– Symmetrisch: (a, b) ∼ (c, d) ⇒ a + d = b + c ⇒ d + a = c + b ⇒ (c, d) ∼ (a, b).
– Transitiv: (a, b) ∼ (c, d), (c, d) ∼ (e, f ) ⇒ a+d = b+c, c+f = d+e ⇒ a+d+f = b+c+f = b+d+e
⇒ a + f = e + b ⇒ (a, b) ∼ (e, f ).
Benötigen: x, y, z ∈ N, x + y = z + y ⇒ x = z.
[a, b] := Äquivalenzklasse von (a, b) ∈ N × N. Z := N × N/ ∼= {[a, b] | (a, b) ∈ N × N}.
• Addition in Z repräsentantenweise: [a, b]+[c, d] := [a+c, b+d]. Wohldefiniert: [a, b] = [a′ , b′ ], [c, d] = [c′ , d′ ]
⇒ [a + c, b + d] = [a′ + c′ , b′ + d′ ]. Beweis: a + b′ = b + a′ , c + d′ = d + c′ ⇒ a + c + b′ + d′ = b + d + a′ + c′ .
Assoziativgesetz ist klar, Null: [a, a] = [1, 1], Negation: −[a, b] = [b, a].
• Einbettung: ε : N → Z, n 7→ [n + 1, 1].
2
Von Z nach Q
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . } wird als gegeben vorausgesetzt.
• Was ist eine rationale Zahl, ein Bruch?
• Verhältnis 5 : 4.
• Verhältnisse ganzer Zahlen: 1 : 2, 4 : 3, 2 : 4, 6 : 7, . . . , a : b. Wir abstrahieren zu Zahlenpaaren der Form
(Dividend, Divisor): (1, 2), (4, 3), (2, 4), (6, 7), . . . , (a, b).
1
2
www.sigma-mathematics.de/semester7/linalg2/ergaenzungen/ergaenzung01.pdf
• (1, 2), (2, 4) stellen dieselbe rationale Zahl dar.
• 0 ist kein Divisor.
• Äquivalenzrelation ∼ auf Z × (Z \ {0}): (a, b) ∼ (c, d) :⇔ ad = bc.
Transitivität: (a, b) ∼ (c, d), (c, d) ∼ (e, f ) ⇒ ad = bc, cf = de ⇒ adf = bcf = bde
⇒ (a, b) ∼ (e, f ).
Eigenschaft von Z
⇒
af = be
Äquivalenzklassen: [a, b] =: a : b =: ab . Q := { ab | (a, b) ∈ Z × (Z \ {0})}.
• Addition in Q repräsentantenweise:
⇔ x 6= 0.
a
b
+
c
d
• Multiplikation in Q repräsentantenweise:
:=
a
b
·
ad+bc
bd .
c
d
:=
Wohldefiniert, etc. . . . , Null: 0 =
ac
bd .
Inverses zu
a
b
6= 0:
b
a,
1 :=
1
1
0
a
=
0
1
= . . .,
x
y
6=
0
a
= aa , a 6= 0.
• Einbettung: Z → Q, z 7→ z1 .
3
Verallgemeinerung: Quotientenkörper von Integritätsbereichen
R kommutativer Ring mit 1, z.B. Z, Z/6Z, R[X], . . . 0 6= a ∈ R heißt Nullteiler, falls 0 6= c ∈ R existiert mit
ac = 0. R heißt Integritätsbereich, falls 1 6= 0 und R keine Nullteiler hat.
Z ist Integritätsbereich: ac = 0 ⇒ 0 = ac 1c = a, R[X] ist Integritätsbereich, Z/6Z ist kein Integritätsbereich:
(3 + 6Z)(2 + 6Z) = 6 + 6Z = 0.
Lemma. Sei R Integritätsbereich, a, b, c ∈ R, c 6= 0, mit ac = bc. Dann folgt a = b.
Beweis. ac = bc ⇒ ac − bc = 0 ⇒ (a − b)c = 0
c6=0,R Integritätsbereich
⇒
a − b = 0 ⇒ a = b.
Sei R Integritätsbereich. Definiere Äquivalenzrelation ∼ auf R × (R \ {0}): (a, b) ∼ (c, d) :⇔ ad = bc. Äquivalenzklassen: ab . Quot(R) := { ab | (a, b) ∈ R × (R \ {0})} ⇒ Quot(R) ist Körper und R ist isomorph zu Teilring
von Quot(R), R → Quot(R), r 7→ 1r .
Quot(R[X]) = R(X) Körper der rationalen Funktionen. K[X] → K(X) := Quot(K[X]).