Serie 7 - HTWK Leipzig

HTWK Leipzig, Fakultät IMN
Prof. Dr. Sibylle Schwarz
[email protected]
7. Übung zur Vorlesung „Modellierung“
Wintersemester 2014/15
gestellt am 10. November 2014
Aufgabe 7.1:
Überprüfen Sie jede der folgenden Relationen auf ihre Eigenschaften
(reflexiv , irreflexiv , transitiv , symmetrisch , asymmetrisch , antisymmetrisch ) und geben Sie
an, ob die Relationen Quasiordnungen, Äquivalenzrelationen, Halbordnungen und / oder lineare
Ordnungen sind.
a. R1 ⊆ ∅2 mit R1 = ∅
b. R2 ⊆ {a, b, c}2 mit R2 = {a, b, c}2
c. R3 ⊆ ({a, b}∗ )2 mit R3 = {(u, v) ∈ ({a}∗ )2 | u v v}
d. R4 ⊆ ({a}∗ )2 mit R4 = {(u, v) ∈ ({a}∗ )2 | |u| = |v|}
e. R5 ⊆ {0, . . . , 12}2 mit R5 = {(a, b) ∈ {0, . . . , 12}2 | a|b}
f. R6 ⊆ ({a, b}+ )2 mit R6 = {(u, v) ∈ ({a, b}+ )2 | u1 = v1 }
g. R7 ⊆ ({a, b}∗ )2 mit R7 = {(u, v) ∈ ({a, b}∗ )2 | |u| ≤ |v|}
h. R8 ⊆ {1, 2, 3, 4}2 mit R8 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}
i. R9 ⊆ {1, 2, 3, 4}2 mit R9 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (4, 4)}
j. R10 ⊆ {1, 2, 3, 4}2 mit R10 = {(1, 1), (1, 2), (2, 3), (1, 3), (4, 4)}
Geben Sie auch an:
• für jede Äquivalenzrelation Ri alle Äquivalenzklassen,
• für jede Äquivalenzrelation Ri , die nur endlich viele Äquivalenzklassen hat, je ein Element
jeder Äquivalenzklasse,
• für jede Halbordnung Ri auf endlichen Mengen das Hasse-Diagramm.
Aufgabe 7.2:
Geben Sie zu jeder der folgenden Zerlegungen Pi an
• aus jeder Menge der Zerlegung ein Element (nur für endliche Zerlegungen und i < 6),
• die durch Pi definierte Äquivalenzrelation RPi ⊆ M 2 (intensional),
• ein Paar (x, y) ∈ R,
• ein Paar (x, y) ∈ M 2 \ R
P1 = {{a, c}, {b, e}, {d}}
N N + 1, 4N + 2, 4N + 3}
P2 = {4 , 4
P3 = {{w ∈ {a, b, c}+ | w1 = a}, {w ∈ {a, b, c}+ | w1 = b}, {w ∈ {a, b, c}+ | w1 = c}}
N}
| |w|b = n} | n ∈ N}
P4 = {{10i, 10i + 1, . . . , 10i + 9} | i ∈
P5 = {{w ∈ {a, b}
∗
P6 = {GMo , GDi , GMi , GDo , GFr , GSa , GSo }
mit Gd = Menge aller Personen, die am Wochentag d geboren sind.
Aufgabe 7.3:
Welche der folgenden Aussagen gelten? Begründen Sie Ihre Antworten.
a. Jede irreflexive Relation ist nicht reflexiv.
b. Jede asymmetrische Relation ist antisymmetrisch.
c. Jede asymmetrische Relation ist irreflexiv.
d. Jede irreflexive Relation ist asymmetrisch.
e. Jede antisymmetrische Relation ist asymmetrisch.
f. Jede transitive irreflexive Funktion ist asymmetrisch.
g. Es gibt kommutative symmetrische Relationen.
h. Die semantische Äquivalenz aussagenlogischer Formeln ist eine Äquivalenzrelation.
i. Die Äquivalenz regulärer Ausdrücke ist eine Äquivalenzrelation.
j. Die Multiplikation natürlicher Zahlen ist symmetrisch.
k. Die Gleichheit natürlicher Zahlen ist symmetrisch.
Übungsaufgaben, Folien und weitere Hinweise zur Vorlesung finden Sie online unter
www.imn.htwk-leipzig.de/~schwarz/lehre/ws14/modellierung