Präsenzübungen zur 12. Vorlesung Fachwissenschaftliche

Roland Gunesch
Wintersemester 2011/2012
Präsenzübungen zur 12. Vorlesung
Fachwissenschaftliche Grundlagen
Aufgabe 1 (Eigenschaften von Relationen):
Untersuchen sie folgende Relation R auf der Menge M darauf, ob die Relation (i) reflexiv,
(ii) symmetrisch, (iii) transitiv, (iv) total, (v) irreflexiv ist. Ist R eine Äquivalenzrelation?
Versuchen Sie, Ihre Aussagen zu beweisen (oder zumindest irgendeine Argumentation zu
formulieren, die für Ihre Behauptung spricht).
a) M = Z, R = {(0, 0) }
b) M = {0}, R = {(0, 0)}
c) M = beliebige nichtleere Menge, R = {}
d) M = beliebige nichtleere Menge, R = M × M
e) M = {1, 2, 3, 4}, R = {(1, 1), (1, 2), (2, 3), (1, 3)}
Aufgabe 2 (Äquivalenz und Gleichheit als Äquivalenzrelation):
a) Untersuchen sie folgende Relation R auf der Menge M darauf, ob die Relation (i) reflexiv, (ii) symmetrisch, (iii) transitiv ist. Ist R eine Äquivalenzrelation? Versuchen Sie, Ihre
Aussagen zu beweisen.
M = {w, f }, R = {(w, w), ( f , f )}
b) Machen Sie dieselbe Untersuchung mit M = R, R = {( x, x ) | x ∈ R}.
c) Was hat R aus (a) mit dem Symbol „⇔“ (logische Äquivalenz) zu tun?
d) Was hat R aus (b) mit dem Symbol „=“ (Gleichheit von reellen Zahlen) zu tun?
Aufgabe 3 (reflexiv und irreflexiv):
a) Geben Sie eine Relation auf {1, 2} an, welche reflexiv und irreflexiv ist.
b) Geben Sie eine Relation auf {1, 2} an, welche reflexiv und nicht irreflexiv ist.
c) Geben Sie eine Relation auf {1, 2} an, welche nicht reflexiv und nicht irreflexiv ist.
d) Geben Sie eine Relation auf {1, 2} an, welche nicht reflexiv, aber irreflexiv ist.
Aufgabe 4 (Äquivalenzrelation):
Auf der Menge A = {100, 101, 102, . . . , 999} ist die Relation R definiert durch
nRm :⇐⇒ Die letzten beiden Ziffern von n und m sind gleich.
Beweisen Sie: R ist eine Äquivalezrelation.