Relationen - Mathematics TU Graz

Relationen
Definition. Für Mengen M1 , M2 heißt die Menge aller geordneten Paare
M1 × M2 = {(x, y) : x ∈ M1 , y ∈ M2 } das kartesische Produkt von M1
und M2 . Im Falle von M1 = M2 = M schreibt man auch M ×M bzw. M 2 .
Definition. Für Mengen M1 , M2 heißt eine Teilmenge R ⊆ M1 × M2
eine Relation zwischen M1 und M2 . Im Falle von M1 = M2 = M spricht
man von einer Relation in M . Ist (x, y) ∈ R , so schreibt man auch xRy.
Beispiele.
• Teilbarkeitsrelation in N , R = {(n, m) ∈ N × N : n Teiler von m}
• Ordnungsrelation in R
• Abbildungen
Definition. Eine Relation R ⊆ M × M in M heißt
reflexiv , wenn xRx für alle x ∈ M
symmetrisch , wenn xRy ⇒ yRx
transitiv , wenn aus xRy und yRz folgt xRz.
Eine Äquivalenzrelation ist eine Relation, die reflexiv, symmetrisch und
transitiv ist. Sie wird oft mit x ∼ y bezeichnet.
Beispiel.
Sei Z die Menge der ganzen Zahlen und R = {(m, n) ∈ Z × Z : n − m
ist gerade}. Man sieht leicht, dass R eine Äquivalenzrelation ist.
Es gilt m ∼ n offenbar genau dann, wenn m und n entweder beide gerade oder beide ungerade sind. Durch diese Relation wird Z damit in 2
”Klassen” zerlegt, nämlich Zg = {n ∈ Z : n ∼ 0} (gerade Zahlen) und
Zu = {n ∈ Z : n ∼ 1} (ungerade Zahlen).
Definition. Eine Klasseneinteilung
S einer Menge M ist ein Mengensystem F = {Mi : i ∈ I} mit M =
Mi und Mi ∩ Mj = ∅ für i 6= j
i∈I
1
(d.h. die Mengen Mi sind paarweise disjunkt).
Definition. Sei ∼ eine Äquivalenzrelation auf einer Menge M . Für jedes
a ∈ M heißt dann Ma = {x ∈ M : x ∼ a} die von a erzeugte
Äquivalenzklasse. Jedes x ∈ Ma (und insbesondere a selbst) heißt ein
Repräsentant von Ma . Man beachte auch, dass Ma = Mb ⇔ a ∼ b.
Satz. Sei M eine Menge.
(i) Jede Klasseneinteilung von M liefert eine Äquivalenzrelation in M ,
(ii) für eine gegebene Äquivalenzrelation in M bildet das System der (verschiedenen!) Äquivalenzklassen eine Klasseneinteilung.
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