Erste Hilfe in Linearer Algebra (2.5.2017)

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1. Kapitel Relationen und Abbildungen
1.1 Relationen
Definition (Relation)
Relationen
Eine Menge R heißt eine (zweistellige) Relation, falls jedes Element von R ein
geordnetes Paar ist. Gilt R ⊆ A × A für eine Menge A, so heißt R eine Relation
auf A. Anstelle von (a, b) P R schreiben wir auch a R b.
Definitions- und Wertebereich
Für eine Relation R setzen wir (mit dom und rng für engl. domain bzw. range):
Def(R ) = dom(R) = { a | es gibt ein b mit a R b },
(Definitionsbereich)
Bild(R) = rng(R) = { b | es gibt ein a mit a R b },
(Bild oder Wertebereich)
Eigenschaften einer Relation R bzgl. einer Menge A
R heißt … auf A
falls für alle a, b, c P A gilt:
reflexiv
aRa
irreflexiv
nicht(a R a)
symmetrisch
a R b impliziert b R a
antisymmetrisch
(a R b und b R a) impliziert a = b
transitiv
(a R b und b R c) impliziert a R c
1
R
(1, 1)
2
3
4
(2, 3)
(1, 2)
4
4
3
3
(2, 4)
(4, 3)
(2, 1)
Drei Darstellungen
einer Relation R auf
{ 1, 2, 3, 4 }. Es gilt
1 R 1, 1 R 2, 2 R 1,
2 R 4, 2 R 3, 4 R 3,
3
2
2
Def(R) = { 1, 2, 4 },
Bild(R) = { 1, 2, 3, 4 }.
1
1
2
4
1
1
2
3
4
In einer Relation R sind alle Paare (a, b), die in einer „bestimmten Beziehung“ stehen,
versammelt. Statt (a, b) P R wird meistens a R b geschrieben, wie man es etwa von a ≤ b
oder a = b gewohnt ist. Wir vereinbaren zudem:
a R b R c bedeutet a R b und b R c.
Man vergleiche hierzu wieder a ≤ b ≤ c und a = b = c.
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© Oliver Deiser, Caroline Lasser
1.1 Relationen
21
Beispiele
(1) Die Kleinergleich-Relation auf N kann definiert werden durch
≤ = { (n, m) P N2 | es gibt ein k P N mit n + k = m },
oder gleichwertig − und besser
lesbar − durch die Setzung
n ≤ m, falls es gibt ein k P N
mit n + k = m
für alle n, m P N. Es gilt
(Kleinergleich auf N)
20
15
10
Def(≤) = Bild(≤) = N.
5
Die ≤-Relation ist reflexiv,
antisymmetrisch und transitiv.
0
0
5
10
15
20
(2) Für alle d, a P Z setzen wir
d | a,
falls es gibt ein k P Z mit kd = a.
Gilt d | a, so heißt d ein
Teiler oder Divisor von a
und a ein (ganzzahliges)
Vielfaches von d. Es gilt
Def(|) = Bild(|) = Z.
Die |-Relation ist reflexiv
und transitiv. Sie ist nicht
antisymmetrisch, da −2|2
und 2|−2, aber 2 ≠ −2.
(Teilbarkeit auf Z)
10
5
0
-5
-10
-10
-5
0
5
10
(3) Sei m P N − { 0 }. Dann setzen wir
für alle a, b P Z
a ;m b,
falls
m|(a − b).
Gilt a ;m b, so sagen wir,
dass die Zahlen a und b
kongruent modulo m sind.
Die Relation ;m ist reflexiv,
symmetrisch und transitiv.
Wir schreiben oftmals auch
a ; b mod(m) anstelle von
a ;m b. So gilt zum Beispiel
0 ; 5 ; −25 mod(5),
−5 ; 2 ; 16 mod(7).
© Oliver Deiser, Caroline Lasser
(Kongruenz modulo m)
10
5
m=5
0
-5
-10
-10
-5
0
5
10
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