Diskrete Mathematik - Schulportal Bremerhaven

Hochschule Bremerhaven
Wypior
Diskrete Mathematik
Aufgabenblatt 3
1)
a)
b)
Es sei A = {a,b,c} eine Menge. Geben Sie die Elemente der Menge
A2
A×A
an.
a)
b)
c)
Es sei W = {1,2,3,4} eine Menge und
R1 = {(1 | 2), (4 | 3), (2 | 2), (2 | 1), (3 | 1)}
R2 = {(2 | 2), (2 | 3), (3 | 2)}
R3 = {(1 | 3)}
Relationen auf W. Welche der Relationen sind symmetrisch, welche transitiv?
a)
b)
c)
d)
Es sei X = {a,b,c,d,e,f,g} und
A1 = {a,c,e}
A2 = {b}
A3 = {d,g}
B1 = {a,e,g}
B2 = {c,a}
B3 = {b,e,f}
C1 = {a,b,e,g}
C2 = {c}
C3 = {d,f}
D1 = {a,b,c,d,e,f,g}
Welche Klassen {A1,A2,A3}, {B1,B2,B3}, {C1,C2,C3} und {D1} sind Partitionen von X?
a)
b)
Es sei IN+ = {1,2,3,...} die Menge der natürlichen Zahlen ohne 0 und "∼" eine Relation in
IN+ × IN+, die definiert ist durch (a,b) ∼ (c,d) genau dann, wenn
ad = bc
a+d = b+c
gilt. Zeigen Sie, daß "∼" eine Äquivalenzrelation ist.
Bestimmen Sie zu a) und b) die Äquivalenzklassen von (2 | 5), also [(2 | 5)].
2)
3)
4)
c)
5)
b
Es sei D = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} und " ° " eine Relation in D, gegeben durch a ° b ⇔ a – ∈ Z
Z,
3
mit a,b ∈ D. Ist " ° " eine Äquivalenz- oder Ordnungsrelation oder keines von beiden?
6)
Gegeben ist die Menge A = {0,1,2,3,4,5}, auf der eine Relation wie folgt definiert ist:
a
R = {(a | b) ∈ A × A | b ≠ 0 und ≤ 0 }.
b
Ist R eine Ordnungsrelation?
7)
R sei eine Äquivalenzrelation auf einer nichtleeren Menge A. Die Funktion f : A → A/R
(Abbildung von A in die Quotientenmenge A/R von A) ist definiert durch f(a) = [a]. Zeigen Sie,
daß f eine surjektive Funktion ist.
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Diskrete Mathematik
Aufgabenblatt 3
8)
Stellen Sie fest, ob die folgenden Relationen Funktionen sind. Bestimmen Sie ggf. die
Eigenschaften injektiv, surjektiv und bijektiv. Bei allen Aufgaben sei f ⊆ X × Y.
a)
X = {1,2,3,4}, Y = {3,4,5,7,8}
f = {(1 | 3), (2 | 4), (3 | 5), (4 | 7)
b)
X = {1,2,3}, Y = {1,2,4}
f = {(1 | 1), (2 | 4), (3 | 2)}
c)
X = {a,b,c,d}, Y = {1,2,3,4}
f = {(a | 4), (b | 2), (c | 2)}
d)
X = {a,b,c,d}, Y = {1,2,3,4}
f = {(a | 4), (b | 2), (c | 2), (d | 1), (d | 4)}
e)
X = {a,b,c}, Y = {a,b,c}
f = {(a | a), (b | b), (c | c)}
f)
Bestimmen Sie zu den Funktionen aus a) bis e) wenn möglich die Umkehrfunktionen, ansonsten
geben Sie mindestens eine links- bzw. rechtsinverse Funktion an.
g)
Bestimmen Sie die Spiegelungen aus a) bis e).