Blatt3 - Universität Stuttgart

Universität
Stuttgart
Prof. Dr. Erberhard Teufel
Dr. Norbert Röhrl
WS 2005/06
Blatt 3
4.11.2005
Mathematik I für Informatik und Softwaretechnik
Die Aufgaben 3.1 und 3.5 sind am 14. bzw 15.11 in der Übung schriftlich abzugeben.
Es können 4+4 Punkte erreicht werden.
3.1) Beweisen Sie folgenden Satz:
Jede Äquivalenzrelation R ⊆ M × M erzeugt eine Partition von M. Umgekehrt bestimmt jede
Partition eine Äquivalenzrelation.
3.2) Sei n ∈ N fest und M := {1, . . . , n}.
(1) Zeigen Sie, dass die Teilmengenrelation ⊆ eine Ordnungsrelation auf der Potenzmenge
P(M) ist.
(2) Sei die Relation für A, B ∈ P(M) durch
A B genau dann, wenn A ∪ {n} ⊆ B ∪ {n}
gegeben. Welche Eigenschaften einer Ordnungsrelation erfüllt ?
3.3) Sei M eine Menge, dann nennen wir die Relation
IM = {(x, x)|x ∈ M} ⊆ M × M
identische Relation oder Identität in M. Seien N und O weitere Mengen. Zeigen Sie, dass
(1) nicht für jede Relation R ⊆ M × N die Gleichungen
R ◦ R−1 =IN ,
R−1 ◦ R =IM
erfüllt ist. D.h. es gibt zwar (nach Definition) zu jeder Relation eine Inverse, aber diese
ist keine Inverse im Sinne von Funktionen.
(2) dass gilt
−1
R−1
=R
(3) für eine weitere Relation R2 ⊆ N × O
(R2 ◦ R)−1 = R−1 ◦ R2−1
gilt.
3.4) Seien f : X −→ Y und g : Y −→ X Abbildungen. Die Komposition g ◦ f : X −→ X
von g mit f ist definiert durch g ◦ f (x) = g(f (x)) für alle x ∈ X. Die identische Abbildung
idX : X −→ X bildes jedes x ∈ X auf sich selbst ab.
(1) Zeigen Sie: gilt g ◦ f = idX , so ist f injektiv und g surjektiv.
(2) Finden Sie ein Beispiel mit g ◦ f = idX , wobei g nicht injektiv und f nicht surjektiv ist.
1
3.5) Pascalsches Dreieck und Binomischer Satz.
Für ganze Zahlen n ≥ k ≥ 0 definieren wir den Binomialkoeffizienten
n!
n(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1)
n
:=
=
,
k
(n − k)!k!
k(k − 1)(k − 2) . . . 2 · 1
(lies: n über k) wobei n! = 1 · 2 · · · (n − 1)n und 0! = 1 ist.
1
1
1
(1) Man betrachte das Pascalsche Dreieck
1
1
1
2
3
4
1
3
6
1
4
1
1
5
10 10 5
1
Das Dreieck hat am Rand Einsen und die inneren Zahlen sind die Summe der beiden
darüber liegenden Zahlen. Man zeige durch vollständige Induktion nach n, dass die kte Zahl der n-ten Zeile durch den Binomialkoeffizienten ( nk ) gegeben ist, wobei die
Nummerierung von n und k bei 0 startet.
(2) Man zeige für a, b ∈ R den Binomischen Satz
n X
n n−i i
n
(a + b) =
a b .
i
i=0