Minitest 1 - Lösung - Mathematik, TU Dortmund

Technische Universität Dortmund
Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. Detlev Hoffmann
Marco Sobiech/ Nico Lorenz
Wintersemester 16/17
Lineare Algebra I
10.11.2016
Test 1
Minitest 1 - Lösung
Lösung zu Aufgabe 1.1:
(Version A) Wir schreiben schlicht aber ungenau n für [n]7 .
x
f (x)
-20
2
-6
2
-3
5
0
0
4
5
12
4
Die Abbildung ist nicht injektiv wegen f (−20) = 2 = f (−6) und nicht surjektiv, da
1 ∈ Z/7Z kein Urbild unter f hat.
(Version B) Wir schreiben schlicht aber ungenau n für [n]7 .
x
f (x)
-19
6
-5
6
-4
3
0
0
3
3
11
4
Die Abbildung ist nicht injektiv wegen f (−19) = 5 = f (−5) und nicht surjektiv, da
1 ∈ Z/7Z kein Urbild unter f hat.
(Version C) Wir schreiben schlicht aber ungenau n für [n]7 .
x
f (x)
-22
5
-8
5
-5
3
0
0
2
3
17
2
Die Abbildung ist nicht injektiv wegen f (−22) = 0 = f (−8) und nicht surjektiv, da
1 ∈ Z/7Z kein Urbild unter f hat.
Lösung zu Aufgabe 1.2:
(Version A) Es gilt [2]5 ⊙ [4]5 ⊕ [4]5 = [2 ⋅ 4 + 4]5 = [12]5 = [2]5 . Also ist x = [4]5 eine Lösung.
(Version B) Es gilt [3]5 ⊙ [3]5 ⊕ [3]5 = [3 ⋅ 3 + 3]5 = [12]5 = [2]5 . Also ist x = [3]5 eine Lösung.
(Version C) Es gilt [4]5 ⊙ [3]5 ⊕ [4]5 = [4 ⋅ 3 + 4]5 = [16]5 = [1]5 . Also ist x = [3]5 eine Lösung.
Lösung zu Aufgabe 1.3:
(Version A) Anhand der Definition des kleinsten gemeinsamen Vielfachen und den
darauffolgenden Bemerkungen im Skript sieht man, dass (a, b) ∈ R genau
dann gilt, wenn b ∣ a gilt.
Die Relation ist reflexiv, da für alle a ∈ N offensichtlich kgV(a, a) = a gilt.
Die Relation ist nicht symmetrisch, da wegen kgV(1, 2) = 1 sicher (1, 2) ∈ R gilt,
aber (2, 1) ∉ R wegen kgV(2, 1) = 1 ≠ 2.
Die Relation ist transitiv, denn sind a, b, c ∈ N so, dass (a, b), (b, c) ∈ R gelten, d.h.
man hat kgV(a, b) = a und kgV(b, c) = b, so gibt es k, l ∈ N mit a = b ⋅ k und b = c ⋅ l.
Dann gilt a = c ⋅ (kl), d.h. a erfüllt die Bedingung (i) aus der Definition des kleinsten
gemeinsamen Vielfachen. Die Bedingung (ii) aus der Definition ist dann ebenfalls
trivialerweise erfüllt.
(Version B) Für A, B ∈ P(M ) gilt zunächst.
A∆B = M ⇐⇒ (A ∖ B) ∪ (B ∖ A) = M ⇐⇒ B = M ∖ A.
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Die Relation ist nicht reflexiv, da für ∅ ∈ P(M ) gilt ∅∆∅ = ∅ ≠ M (dies gilt sogar
allgemeiner für alle A ∈ P(M )).
Die Relation ist symmetrisch, denn wegen der Kommutativität der symmetrischen
Differenz gilt für A, B ∈ P(M ) mit (A, B) ∈ R, also A∆B = M auch B∆A = M und
damit (B, A) ∈ M .
Die Relation ist nicht transitiv, denn für A, B, C ∈ P(M ) mit (A, B) ∈ R und (B, C) ∈
R gelten dann nach obiger Bemerkung B = M ∖ A und C = M ∖ A. Daraus folgt
C = M ∖ (M ∖ A) = A. Dann folgt nach Obigem jedoch A∆C = A∆A = ∅ ≠ M , also
(A, C) ∉ R.
(Version C) Offensichtlich gilt für beliebige a, b, c, d ∈ N ((a, b), (c, d)) ∈ R ⇐⇒ ab = dc ∈ Q+ .
Die Relation ist reflexiv, da für alle a, b ∈ N wegen der Kommutativität der
Multiplikation ab = ba und damit ((a, b), (a, b)) ∈ R gilt.
Die Relation ist symmetrisch, denn für beliebige a, b, c, d ∈ N mit ((a, b), (c, d)) ∈ R,
also ad = bc gilt, da die Gleichheit eine symmetrische Relation ist und die
Multiplikation kommutativ, auch cb = da und damit ((c, d), (a, b)) ∈ R.
Die Relation ist transitiv, denn sind a, b, c, d, e, f ∈ N gegeben mit
((a, b), (c, d)), ((c, d), (e, f )) ∈ R, so gilt
af =
bc de
⋅
= be,
d c
also ((a, b), (e, f )) ∈ R.
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