Diskrete Mathematik ¨Ubung 4

ETH Zürich, D-INFK
HS 2014, 6. Oktober 2014
Prof. Ueli Maurer
Daniel Tschudi
Diskrete Mathematik
Übung 4
4.1
Mengen, Mengenrelationen und Kardinalitäten (?)
(10 Punkte)
a) Geben Sie für die folgenden Mengen A und B jeweils an ob A = B, A ∈ B oder
A ⊆ B.
i)
ii)
iii)
A = ∅,
A = {∅, {∅, ∅}},
A = {{∅, ∅}},
B=∅
B = {∅, {∅, {∅}}, {∅}}
B = {{∅}, {∅, ∅}, {∅, ∅, ∅}}
(3 Punkte)
b) Sei A = {∅, ∅, {∅}} und B = {∅, {∅}, {{∅}}}. Bestimmen Sie folgende Mengen und
ihre Kardinalitäten:
i)
A∪B
ii) A ∩ B
iii) ∅ × A
iv) {1, 2} × {3} v) {{1, 2}} × {3} vi) P(∅)
(7 Punkte)
vii) P(A)
4.2
Potenzmengen und Kartesische Produkte
a) (?) Zeigen Sie, dass eine Menge A mit A ⊆ P(A) und eine Menge B mit B 6⊆ P(B)
existieren.
b) (? ?) Seien A, B beliebige Mengen. Zeigen Sie: A ⊆ B ⇐⇒ P(A) ⊆ P(B)
c) (? ? ?) Seien A, B und C Mengen mit A × B = A × C. Für welche Mengen A folgt
daraus B = C? Beweisen Sie Ihre Aussage.
4.3
Verwandtschaftsrelationen (? ?)
Wir betrachten als Universum die Menge aller (lebenden und bereits verstorbenen) Menschen und darauf verschiedene Verwandtschaftsrelationen wie in der Vorlesung.
a) Drücken Sie folgende Relationen durch die Relationen id (Identität), iv (ist Vater
von), im (ist Mutter von), ie (ist Elternteil von) und ik (ist Kind von) aus:
i) x iugr y :⇐⇒ x ist Urgrossvater von y
ii) x ihg y :⇐⇒ x ist Halbgeschwister von y (d.h. x und y haben ein Elternteil
gemeinsam, nicht aber beide.)
iii) x ic y :⇐⇒ x ist Cousin/Cousine von y (d.h. x und y sind keine Geschwister,
haben aber ein Grosselternteil gemeinsam.)
b) In welcher Beziehung stehen die Relationen ik◦ik◦ie◦ie und ik◦ie◦ik◦ie zueinander?
Sind sie gleich oder ist die eine in der anderen enthalten?
4.4
Operationen auf Relationen (? ?)
Betrachten Sie die Relationen <, | und ≡2 auf Menge der natürlichen Zahlen N. Geben Sie
für mindestens vier der folgenden Relationen auf N an, ob sie jeweils reflexiv, symmetrisch
oder transitiv sind.
i) ≡2
ii) <2
iii) |−1
iv)
<◦|
−1
v) | ∪ ≡2 vi) < ∩ < vii) | ∪ |
viii) < − <−1
4.5
Eigenschaften von Relationen
(10 Punkte)
a) (? ?) Geben Sie für je zwei der drei Eigenschaften reflexiv, transitiv und symmetrisch
eine Relation auf {0, 1} an, welche diese beiden Eigenschaften hat, nicht aber die
dritte oder zeigen Sie, dass eine solche Relation nicht existieren kann.
(4 Punkte)
b) (?) Bestimmen Sie für die Relation ρ := {(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 3), (3, 5), (4, 3)} auf der
Menge {1, 2, 3, 4, 5} die beiden Relationen ρ2 und ρ∗ .
(2 Punkte)
c) (? ?) Beweisen oder widerlegen Sie: Ist die Relation σ nicht reflexiv, so ist auch die
Relation σ 2 nicht reflexiv.
(2 Punkte)
d) (? ? ?) Beweisen oder widerlegen Sie: Sind die Relationen σ und ρ anti-symmetrisch,
so ist auch die Relation σ ∩ ρ anti-symmetrisch.
(2 Punkte)
Abgabe am 13. Oktober 2014
Korrigiert werden Aufgaben 4.1 und 4.5.