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was?
Linguistik
Computerlinguistik
Algebra
exakte formale Beschreibungen von:
u. Logik
Syntax u. Semantik zusätzlich Weltwissen
Theoretische
Aufwandsabschätzungen,
Informatik
Berechenbarkeit
quantitative
“Performanz”:
Statistik
Linguistik
kogn. Modellierung
techn. P.-Steigerung
Warum ?
1.1 Einführung;Mengen und Relationen
1.2 Funktionen
1.3 Algebraische Strukturen
2 Logik, formale Systeme
2.1 Aussagenlogik
2.2 Prädikatenlogik
2.3 Formale Systeme, Inferenz
2.4 Nicht-Standard-Logiken
2.5 Merkmalslogik, Unifikation
2.6 Typtheorie, Lambda-Kalkül
3 Theoretische Informatik
3.1 Formale Grammatiken, Chomsky-Hierarchie
3.2 Sprachen und Automaten
3.3 Berechenbarkeit und Komplexität
4 Statistik (noch vorläufig)
4.1 Grundbegriffe
4.2 Wahrscheinlichkeitstheorie
4.3 Hidden Markov Modelle
4.4 Anwendungen
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Mengen
Eine Menge ist eine (ungeordnete) Sammlung
von unterscheidbaren Objekten, ihren Elementen.
– das können auch Mengen sein!
Eine Menge ist wohl-definiert, wenn nach einem
klaren Prinzip entschieden werden kann, ob ein
Objekt Element einer Menge ist oder nicht.
Schreibweise:
Grossbuchstaben
Kleinbuchstaben
für Mengen,
für Elemente.
leere Menge:
ist / ist nicht Element von
bzw.
:
3
Beschreibungen für Mengen
1. Listen-Notation, Aufzählung:
2. Charakteristische Eigenschaft, Beschreibung:
gerade
Russells Paradox...
3. Verfahren zur Generierung der Elemente:
1. 4 ist Element der Menge .
2. wenn x Element der Menge
ist,
dann auch x + 3.
3. nichts sonst ist Element der Menge .
Identität:
von
genau dann, wenn alle in
auch Element
sind und alle in auch in .
Kardinalität:
Anzahl der Elemente einer Menge:
oder #
Wenn
eine natürliche Zahl ist, heisst
sonst unendlich. Beispiel?
endlich,
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Mengenoperationen
Teilmenge:
genau dann, wenn alle Elemente
von auch Elemente von sind.
Für alle Mengen gilt:
und
echte Teilmenge:
gdw.
und
disjunkte Mengen: Zwei (mehrere) Mengen heissen
disjunkt, wenn kein x Element von und ist.
Potenzmenge:
Vereinigung:
Schnitt:
Differenz:
, Menge aller Teilmengen von
, alle Elemente von
oder
, Menge aller Elemente von
.
.
und
.
and
Komplement:
immer in Bezug auf Grundmenge / Universum
:
5
Venn-Diagramme
selbst malen!
6
Verknüpfungseigenschaften
Idempotenz
(a)
(b)
Kommutativität
(a)
(b)
Assoziativität
(a)
(b)
Distributivität
(a)
(b)
Identitätsgesetze
(a)
(b)
(c)
(d)
Komplementgesetze
(a)
(b)
(c)
(d)
DeMorgans Gesetze
(a)
(b)
Konsistenz
(a)
gdw.
(b)
gdw.
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Tupel
geordnetes Paar, mengentheoretische Definition:
mit der Eigenschaft
.
Kartesisches Produkt:
und
Projektion auf erste / zweite Koordinate von
:
bzw.
Erweiterung auf n-Tupel möglich...
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Relationen
(zweistellige) Relationen: Beziehungen zwischen
(zwei) Objekten.
Relation
von nach ;
falls
, in .
Definitionsbereich, domain:
und es gibt ein
so, dass
Wertebereich, range:
und es gibt ein
Schreibweise:
oder
.
Komplement von
:
Inverse:
identische Abbildung in
so, dass
:
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Eigenschaften von Relationen
Reflexivität:
für alle
, d.h.
.
– nicht reflexiv: nicht alle
von .
– irreflexiv: kein
,
Symmetrie:
für alle
,
.
.
– nicht symmetrisch: nicht für alle
.
– asymmetrisch: nie sowohl
(also auch irreflexiv).
– antisymmetrisch: wenn
, dann
.
Transitivität:
für alle
– nicht transitiv: nicht für alle ...
– intransitiv: für keine ...
auch
als auch
und
.
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Beispiel
Relation
in der Menge
der Artikel (Relativpronomen) und Substantive:
gdw. eines der beiden ist Artikel, das andere Substantiv und
und
kongruieren in Kasus,
Numerus und Genus
irreflexiv
symmetrisch
nicht transitiv
Überprüfung durch Relationstafel:
zur Reflexivität betrachte die Diagonale...
zur Symmetrie: sind die Einträge an der Diagonale
gespiegelt?
zur Transitivität: nachrechnen...
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Äquivalenzrelationen
Relationen, die
reflexiv
symmetrisch
transitiv
sind, heissen Äquivalenzrelationen. Sie zerlegen ihren Definitionsbereich in disjunkte Teilmengen, die
Äquivalenzklassen.
Schreibweise:
Äquivalenzklasse von :
ist äquivalent zu
:
(auch: kongruent)
Beispiel: Relation in der Menge
der natürlichen
Zahlen (mit 0):
gdw. und hinterlassen bei der Division
durch 4 den gleichen Rest.
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Ordnungsrelationen
Transitive Relationen heissen Ordnungsrelationen.
partielle Ordnung,
:
– transitiv, d.h. wenn
– reflexiv, d.h. für alle
.
– antisymmetrisch, d.h. wenn
.
totale Ordnung:
alle
vergleichbar:
strikte Ordnung,
– transitiv
– irreflexiv
– asymmetrisch
oder
, dann
.
, dann
.
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Beispiele
Partielle Ordnungsrelationen lassen sich in sog.
Hasse-Diagrammen darstellen:
und
4
6
2
3
teilt
5
1
Totale Ordnungen bilden eine Kette, betrachte
Hasse-Diagramm von
und
teilt
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Ordnungsrelationen II
Sei eine Ordnungsrelation in gegeben.
heisst untere Grenze, wenn es kein
mit
.
ist kleinstes Element von , wenn für alle
.
gibt
gilt:
obere Grenze und grösstes Element entsprechend...
wohlgeordnet: jede Teilmenge hat kleinstes Element...