Inhalt

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Vo r w o r t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Aufbau und Themen des Buches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
E i n f ü h r u n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Erster Abschnitt :
D i e S p r a c h e d e r M a t h e m a t i k . . . . . . . . 17
1. 1 Mathematisches Argumentieren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Aussagen und Junktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Semantik der Junktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aussagenlogische Beweismuster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Sprache der Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aussagenlogische Tautologien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quantorenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
21
27
30
33
35
36
1. 2 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Extensionalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Komprehensionen mit Hilfe von Eigenschaften . . . . . . . . . . . . .
Einfache Mengenbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Operationen mit Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Potenzmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mengensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
43
45
46
48
49
50
1. 3 Relationen und Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Relationen und ihre Struktureigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . .
Äquivalenzrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wohldefiniertheit und Kongruenzrelationen . . . . . . . . . . . . . . . .
Isomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
57
61
63
69
70
72
Exkurs : Mächtigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Mächtigkeitsvergleiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Satz von Cantor-Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Unendlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
78
81
83
2
Inhalt
Zweiter Abschnitt :
Z a h l e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2. 1 Natürliche Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Nachfolger und Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dedekind-Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Arithmetik der natürlichen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Ordnung der natürlichen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Starke Induktion und Prinzip des kleinsten Elements . . . . . . . . .
Rekursive Funktionen und algorithmische Berechenbarkeit . . . .
Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
88
92
93
94
95
98
2. 2 Ganze und rationale Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Konstruktion der ganzen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rechengesetze und Ordnung der ganzen Zahlen . . . . . . . . . . . .
Konstruktion der rationalen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rechengesetze und Ordnung der rationalen Zahlen . . . . . . . . .
Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Angeordnete Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103
105
107
108
109
110
111
2. 3 Reelle und komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Obere Schranken und Suprema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lineare Vollständigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Konstruktion der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das archimedische Axiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Charakterisierung der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Komplexe Zahlen und Quaternionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dritter Abschnitt :
115
116
118
120
121
122
128
E r s t e E r k u n d u n g e n . . . . . . . . . . . . . . . 133
3. 1 Teiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Teilbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Größter gemeinsamer Teiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Euklidische Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Linearkombinationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
135
137
140
142
144
148
151
3. 2 Grenzwerte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Konvergente Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Häufungspunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Offene Mengen und Umgebungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Metrische Vollständigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
157
160
162
164
168
171
172
Inhalt
3
3. 3 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das Gauß-Jordansche Eliminationsverfahren . . . . . . . . . . . . . .
Lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matrizenmultiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Relationen und Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
177
178
182
186
187
188
192
3. 4 Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
Der Begriff der Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Folgerungen aus den Gruppenaxiomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exponentiation und Vervielfachung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Untergruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nebenklassen und Faktorgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Satz von Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
197
200
201
202
205
207
208
3. 5 Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Endliche Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kantenzüge, Wege und Kreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Erreichbarkeit und Zusammenhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eulerzüge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Erkundung eines Labyrinths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hamiltonkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
213
216
217
218
220
222
224
3. 6 Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
Abzählbare Wahrscheinlichkeitsräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Additivität und Stetigkeit von Wahrscheinlichkeitsmaßen . . . .
Summen als Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zufallsvariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das Gesetz der großen Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
229
236
238
240
241
244
247
Lösungsvorschläge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
1. 1 Mathematisches Argumentieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
1. 2 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
1. 3 Relationen und Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
Notationen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271