Diskrete Mathematik Basiswissen fur Informatiker
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Werner Nehrlich Diskrete Mathematik Basiswissen fur Informatiker Eine Mathematica-gestutzte Darstellung Mit 68 Abbildungen, 248 Aufgaben und zahlreichen Beispielen CD-ROM mit 55 Mathematica-Anwendungen und Losungen Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag Inhaltsverzeichnis Vorwort 5 Verzeichnis der Mathematica-Anwendungen 10 Symbolverzeichnis 11 Einleitung 14 1 Mathematische Logik 21 1.1 1.2 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.3 1.3.1 1.3.2 1.4 1.4.1 1.4.2 1.4.3 1.5 Einftihrung Klassische zweiwertige Aussagenlogik BegriffderAussage Aussagenverbindungen Semantische Aquivalenz Normalformen Pradikatenlogik Begriffe und Definitional Einige Regeln fur den Gebrauch der Quantoren Einige Beweisprinzipien Direkter Beweis Beweis durch Kontraposition Indirekter Beweis Aufgaben 21 23 23 28 33 37 48 48 50 52 52 54 55 61 2 Mengen 67 2.1 2.1.1 2.1.2 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.3 Die Cantorsche Mengendefinition Einfiihrung Cantorsche Mengenbildung Die Teilmengenrelation. Potenzmenge einer Menge Inklusionsrelation Gleichheitsrelation Potenzmenge einer Menge Aufgaben 67 67 68 71 71 73 75 82 Inhaltsverzeichnis 2.4 2.4.1 2.4.2 2.4.3 2.4.4 2.4.5 2.4.6 2.4.7 2.5 Machtigkeit von Mengen. Abzahlbare und iiberabzahlbare Mengen Cantors Gleichmachtigkeitsdefinition Endlichkeitsdefinition nach Dedekind Abzahlbar unendliche Mengen Uberabzahlbar unendliche Mengen Hierarchie der Zahlklassen Unendlich viele verschiedene unendliche Machtigkeiten Kritik der Cantorschen Mengenlehre Aufgaben 83 83 84 86 90 92 95 95 97 3 Boolesche Algebren 99 3.1 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.2 3.3 3.3.1 3.3.2 3.4 Die Mengenalgebra Mengenoperationen GesetzmaBigkeiten (Rechenregeln) der Mengenalgebra Allgemeine Vereinigung und allgemeiner Durchschnitt Weitere Gesetze der Mengenalgebra Mengenalgebra und Machtigkeit endlicher Mengen Aufgaben Axiome der Booleschen Algebra Allgemeine Definition Boolescher Algebren Deduktion von GesetzmaBigkeiten. Beispiele Boolescher Algebren Aufgaben 99 99 102 106 106 HI 113 116 117 118 124 4 Relationen 126 4.1 4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.2 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4 4.2.5 4.2.6 4.3 Charakterisierung von Relationen Die Mengenoperation des Kreuzprodukts Der Relationsbegriff. Darstellung von Relationen Die Inverse und die Komposition von Relationen Eigenschaften von Relationen. Strukturierte Mengen Die wichtigsten Eigenschaften binarer Relationen auf einer Menge Einige Beispiele fur binare Relationen und ihre Eigenschaften Strukturierte Mengen (Wichtige Typen von Relationen) Ordnungsrelationen Aquivalenzrelationen Hullenbildungen von Relationen Aufgaben 126 126 129 135 142 143 145 149 150 156 163 168 5 Funktionen 174 5.1 5.1.1 Begriffe, Eigenschaften und Beispiele von Funktionen Einfiihrung 174 174 Inhaltsverzeichnis 9 5.1.2 5.1.3 5.1.4 5.2 5.3 5.3.1 5.3.2 5.3.3 5.3.4 5.4. Grundlegende Begriffe und Eigenschaften Wichtige Beispiele fur Funktionen Bijektionen iiber endlichen Mengen Aufgaben Operationen mit Funktionen Arithmetische Verkniipfungen Kompositionen Permutationsgruppen Das Wachstum von Funktionen Aufgaben 175 180 196 205 206 206 209 214 224 228 6 Natiirliche Zahlen. Prinzip der Induktion. Einfiihrung in die Kombinatorik... 232 6.1 PEANO-Axiome. Unvollstandige und vollstandige Induktion 232 6.1.1 Induktionsprinzip 233 6.1.2 Einfache Beispiele fur Beweise durch vollstandige Induktion 234 6.1.3 Von der unvollstandigen zur vollstandigen Induktion 235 6.1.4 Teleskop-Prinzip: Ein Trick zur konstruktiven Gewinnung von Summenformeln .. 239 6.1.5 Weitere Beispiele fur etwas schwierigere Induktionen 240 6.2 Aufgaben 244 6.3 Einfiihrung in die Kombinatorik 249 6.3.1 Reine Auswahl- und reine Anordnungsprobleme 250 6.3.2 Vier Grundaufgaben der Kombinatorik: Auswahl plus Anordnung 253 6.4 Aufgaben 258 7 Algorithmen und rekursive Funktionen 261 7.1 7.1.1 7.1.2 7.2 7.3 7.3.1 7.3.2 7.3.3 7.4 Der Algorithmenbegriff Inhalt und Genesis des Algorithmenbegriffs Beispiele wichtiger Algorithmen Aufgaben Rekursive Funktionen Zur mathematischen Prazisierung des Algorithmenbegriffs Primitiv-rekursive Funktionen Allgemein- und partiell-rekursive Funktionen Aufgaben 261 261 264 275 276 276 278 292 305 Literaturverzeichnis 311 Personenregister 315 Sachwortverzeichnis 326
