Grundlagen der höheren Informatik

Bernhard Steffen . Oliver Rüthing .
Malte Isberner
Grundlagen der höheren
Informatik
Induktives Vorgehen
~ Springer Vieweg
Inhaltsverzeichnis
1
Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I
1.1 Illustrative Beispiele und typische Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Das Zusammenspiel von Syntax und Semantik. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Denken in Strukturen: Ein lernpragmatischer Zugang
12
1.4 Lernziele des ersten Bandes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14
2
Aussagen und Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
2.1 Aussagen................................... . . . . . . . . . . . . ..
2.1.1 Aussagenlogik
2.1.2 Prädikatenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
2.1.3 Logische Beweisprinzipien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
2.2 Mengen...................................................
2.2.1 Mengenbeziehungen
2.2.2 Potenzmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
2.2.3 Mengenverknüpfungen
2.2.4 Mächtigkeit endlicher Mengen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
2.3 Wei terführende Betrachtungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
2.3.1 Aussagenlogik
2.3.2 Axiomatisches Beweisen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
2.3.3 Algebraisches Denken. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
2.3.4 Korrektheit und Vollständigkeit
2.3.5 Antinomien.........................................
2.4 Lernziele..................................................
2.5 Aufgaben.................................................
15
15
18
23
28
30
31
32
33
36
37
38
39
41
42
43
44
45
3
Relationen und Funktionen
3.1 Relationen................................................
3.1.1 Kartesisches Produkt
3.1.2 n-stellige Relationen
3.1.3 Binäre Relationen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
3.2 Funktionen................................................
47
47
47
49
50
52
xxiii
xxiv
Inhaltsverzeichnis
3.2.1 Eigenschaften von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
3.2.2 Erhaltungseigenschaften
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
3.2.3 Mächtigkeit unendlicher Mengen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
3.2.4 Partiell definierte Funktionen
Äquivalenzrelationen
3.3.1 Partitionen..........................................
Weiterführende Betrachtungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
3.4.1 Endliche Bitvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
3.4.2 Grenzen der AbzählbarkeitJBerechenbarkeit. . . . . . . . . . . . ..
3.4.3 Hüllen, Abschlüsse, Vervollständigungen. . . . . . . . . . . . . . ..
3.4.4 Äquivalenzrelationen in der objektorientierten
Programmierung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
3.4.5 Rechnen mit Kardinalzahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
Lernziele..................................................
Aufgaben.................................................
54
58
59
68
69
70
73
73
74
75
4
Induktives Definieren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
4.1 Natürliche Zahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
4.1.1 Peano-Axiome......................................
4.1.2 Operationen auf natürlichen Zahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
4.1.3 Induktiv definierte Algorithmen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
4.2 Induktiv definierte Mengen
4.2.1 Anwendung in der Informatik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
4.3 Darstellung und Bedeutung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
4.3.1 Zeichenreihen
4.3.2 Semantikschemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
4.3.3 Backus-Naur-Form
4.4 Induktive Semantikschemata
4.5 Weiterführende Betrachtungen
4.5.1 Notationen und Standards
4.5.2 Lineare Listen in funktionalen Programmiersprachen
4.5.3 Eindeutigkeit der Darstellung
4.5.4 BNF ist nicht gleich BNF
4.6 Lernziele
4.7 Aufgaben
83
84
84
86
88
92
93
96
97
98
101
104
107
107
108
109
1II
112
113
5
Induktives Beweisen
5.1 Ordnungsrelationen
5.1.1 Partielle Ordnungen
5.1.2 Quasiordnungen
5.1.3 Totale Ordnungen
5.1.4 Striktordnungen
5.2 Ordnungen und Teilstrukturen
5.3 Noethersche Induktion
5.3.1 Terrninierungsbeweise
I 15
115
116
118
119
119
121
122
126
3.3
3.4
3.5
3.6
77
78
79
80
Inhaltsverzeichnis
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
6
Verallgemeinerte Induktion
Strukturelle Induktion
Vollständige Induktion
Weiterführende Betrachtungen
5.7.1 Verschärfung der Induktionsvoraussetzung
5.7.2 Anwendung: Das Substitutionslemma
5.7.3 Formale Korrektheitsbeweise
5.7.4 BNF-basierte Induktion
5.7.5 Weitere Formen von Induktionsbeweisen
Lernziele
Aufgaben.................................................
Induktives Vorgehen: Potential und Grenzen
6.1 Potential
6.2 Grenzen
6.3 Pragmatik
xxv
129
130
133
136
137
138
141
144
147
150
150
153
153
155
156
Literaturverzeichnis
159
Lösungen der Aufgaben
161
Sachverzeichnis
177