Ergänzungen zu Logik und Diskrete Strukturen Vorlesung 2 – 26.10

Ergänzungen zu Logik und Diskrete Strukturen
Vorlesung 2 – 26.10.2012
Themen Mengen und Relationen, aussagenlogische Äquivalenz, strukturelle Induktion.
Literatur Zu Relationen jedes einführende Buch über Mathematik oder Theoretische Informatik, z.B. [6, 5.1]. Zur aussagenlogischen Äquivalenz [5, 1.2] oder [3,
2.3] oder [1, 1.1.2]. Zu Induktion [2, 9] oder [4, 2.4].
[1] Dassow, Jürgen: Logik für Informatiker. Vieweg, 2005. – ISBN 3519005182
[2] Ehrig, Hartmut ; Mahr, Bernd ; Cornelius, F.: Mathematisch-strukturelle Grundlagen der Informatik. 2. Auflage. Springer, 2001. – ISBN 3540419233
[3] Heinemann, Bernhard ; Weihrauch, Klaus:
Einführung. Teubner, 1992. – ISBN 3519122480
Logik für Informatiker. Eine
[4] Hoffmann, Dirk W.: Theoretische Informatik. 2. aktual. Auflage. Hanser, 2011. –
ISBN 3446426396
[5] Schöning, Uwe: Logik für Informatiker. 5. Auflage. Spektrum, 2000. – ISBN
3827410053
[6] Teschl, Gerald ; Teschl, Susanne: Mathematik für Informatiker 1: Diskrete Mathematik und Lineare Algebra. 3. Auflage. Springer, 2010. – ISBN 3540774319
Ordnungen Eine zweistellige Relation R ⊆ M × M heißt Ordnungsrelation, wenn
sie reflexiv, antisymmetrisch (xRy∧yRx → x = y) und transitiv ist. Meist verwendet
man Zeichen wie ≤ , oder v für Ordnungsrelationen. Ist x ≤ y (oder x y oder
x v y) und x 6= y, so lässt man den Strich unter dem Relationszeichen weg und
schreibt x < y (oder x ≺ y oder x @ y).
Eine Ordnungsrelation ≤ heißt noethersch, wenn es keine unendlichen absteigenden
Ketten x1 > x2 > x3 > . . . gibt.
Induktion Ist M eine Menge mit einer noetherschen Ordnungsrelation ≤ und
A(x) eine Aussageform (also eine parametrisierte Ausage, d.h. für jedes x ∈ M ist
A(x) eine Aussage), dann gilt das noethersche Induktionsprinzip:
Für alle x ∈ M gilt A(x)
⇔ Für alle x ∈ M gilt:
(Für alle y ∈ M mit y < x gilt A(y))→ A(x)
Im Spezialfall M = N und der üblichen ≤-Relation erhält man die ,,normale“ Induktion über die natürlichen Zahlen. Der Induktionsanfang verbirgt sich dabei in
dem Fall x = 1, da dann die Prämisse der Implikation wahr ist.
1
Ergänzungen zu Logik und Diskrete Strukturen
Vorlesung 2 – 26.10.2012
Die strukturelle Induktion, welche wir etwa für Beweise über Formeln verwenden, erhalten wir aus der noetherschen Induktion, wenn wir für M die Menge aller Formeln
nehmen und F ≤ G setzen, wenn F Teilformel von G ist. Wir erhalten:
Für alle Formeln F gilt A(F )
⇔ i) Für jede atomare Formel Ai gilt A(Ai ) und
ii) Gilt A(F ) und A(G), dann
auch A(¬F ), A(F ∧ G) und A(F ∨ G)
Aufgaben
1. Relationen
Kreuzen Sie die zutreffenden Eigenschaften der angegebenen Relationen über der
Menge M = {1, 2, 3} an:
Relation
reflexiv symmetrisch transitiv
{(1, 1), (1, 2), (2, 2)}
{(1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3)}
6
=
≤
∅
M ×M
2. Strukturelle Induktion
Wir definieren den Junktor ↑ (auch ,,NAND“ genannt) durch die folgende Wahrheitstafel:
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
A↑B
1
1
1
0
Zeigen Sie mit Hilfe von struktureller Induktion nach dem Formelaufbau, dass es
zu jeder Formel F eine äquivalente Formel F 0 gibt, die nur den Junktor ↑ (und
natürlich atomare Aussagen aus F sowie Klammern) verwendet.
2