Blatt 7 - Friedrich-Schiller
Werbung
Friedrich-Schiller-Universität Jena
Institut für Informatik
Martin Mundhenk
Wintersemester 2014/15
Übungsaufgaben zur Vorlesung
Logik und Beweisbarkeit
http://tinyurl.com/Logik2014
Aufgaben zum 22.1.2015
(Abgabe bis zum Beginn der Vorlesung)
Aufgabe 17:
Eine Menge arithmetischer Formeln T heißt Theorie, falls für alle arithmetischen Formeln α gilt: wenn
T Nat α, dann α ∈ T .
Eine Theorie T heißt axiomatisierbar, wenn es eine entscheidbare Menge Γ ⊆ T gibt, für die gilt: wenn α ∈ T ,
dann Γ Nat α.
Zeigen Sie: jede semi-entscheidbare Theorie ist axiomatisierbar (Satz von Craig).
Aufgabe 18:
Sei Pc ein URM-Programm mit einem Register und Länge s.
Dann ist die Startkonfiguration von Pc (n) das Tripel (0, n, 0), und jedes Tripel (a, b, s0 ) mit s0 > s ist
Endkonfiguration von Pc .
1. Geben Sie eine Kodierung von Tripeln durch natürliche Zahlen an, mit der sich der zweite Teil der
Aufgabe lösen lässt.
2. Geben Sie für diese Kodierung ∆0 -Formeln an, die die Mengen
{(t, n) | t ist Startkonfiguration von Pc (n)} und
{t | t ist Endkonfiguration von Pc }
beschreiben.
Aufgabe 19:
Die arithmetische Hierarchie besteht aus Klassen Σ0i und Π0i (für i ∈ N), die wie folgt für alle A ⊆ Nk
definiert sind.
1. A ∈ Σ00 gdw. A ist entscheidbar, und Π00 = Σ00 .
2. A ∈ Σ0i+1 gdw. es eine Menge B ∈ Π0i gibt, so dass für alle a1 , . . . , ak ∈ N gilt:
(a1 , . . . , ak ) ∈ A gdw. ∃b ∈ N : (a1 , . . . , ak , b) ∈ B,
und A ∈
Π0i+1
gdw. A ∈
Σ0i+1 .
In Aufgabe 16 wurde bereits gezeigt, dass Σ01 die Klasse der semi-entscheidbaren Mengen ist.
Entsprechend kann man K als {n | ∃t : (n, n, t) ∈ HB } mittels dem beschränkten Halteproblem HB darstellen. Und Sur = {n | ϕn ist surjektiv} lässt sich durch {n | ∀m∃x∃t :
Pn (x) hält nach 6 t Schritten mit Ausgabe m} mit einem intuitiv entscheidbaren Prädikat als Π02 -Menge
darstellen.
Wir betrachten die folgenden Mengen:
Sub = {(a, b) | Wa ⊆ Wb },
Fin = {n | Wn ist endlich},
coFin = {n | Wn ist endlich},
Rec = {n | Wn ist entscheidbar},
1. Ordnen Sie die vier genannten Mengen in die arithmetische Hierarchie ein.
2. Da alle vier Mengen vollständig für Oberklassen von Σ01 und Π01 sind, lassen sich K und K zu ihnen
reduzieren. Geben Sie mindestens zwei dieser Reduktionen an.
Lösen Sie eine der Aufgaben ordentlich . . . bei Fragen: Sprechstunde (auch nach Vereinbarung) . . .
7
