Theoretische Informatik 1 SoSe 2012

Theoretische Informatik 1 SoSe 2012
Alf Zugenmaier
Übungsblatt 0 – Eingewöhnung
Wenn Ihnen die Worte fehlen sollten, oder Ihnen die Definitionen für einige Begriffe nicht einfallen –
ein gutes Buch oder gar das Internet können weiterhelfen.
1) Mengen
a. Geben sie alle Teilmengen der Menge M={7, 9, 15} an. Die Menge dieser Mengen ist
die sogenannte Potenzmenge. Wie viele dieser Teilmengen sind echte Teilmengen?
b. Geben Sie einen Algorithmus an, der prüft, ob zwei endliche Mengen identisch sind.
c. Geben Sie ein Beispiel für eine abzählbar unendliche Menge an.
d. Geben Sie ein Beispiel für eine überabzählbar unendliche Menge an.
e. Beweisen Sie, dass �������
𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴̅ ∪ 𝐵�.
2) Folgen und Tupel
a. Sind (3, 9, 12) und (9, 3, 12) identisch?
b. Sind (3, 9, 12) und {3, 9, 12} identisch?
c. Geben Sie eine Algorithmus an, der prüft ob zwei 𝑘-Tupel (𝑘 ∈ ℕ) identisch sind.
3) Kartesisches Produkt
a. Sei 𝐴 = {𝑎, 𝑏} und 𝐵 = {𝑥, 𝑦, 𝑧}. Geben Sie 𝐴 × 𝐵, 𝐴 × 𝐴, und 𝐴 × 𝐵 × 𝐴 an.
4) Funktionen
a. Geben Sie ein Beispiel für eine einstellige Funktion 𝑓: ℝ → ℝ .
b. Geben Sie ein Beispiel für eine zweistellige Funktion. Schreiben Sie dieses Beispiel in
Präfix und in Infix Notation auf.
5) Relationen
Definition: Ein Prädikat ist eine Funktion, dessen Wertebereich {wahr, falsch} ist.
Definition: Ein Prädikat, dessen Definitionsbereich ein k-Tupel 𝐴 × … × 𝐴 ist, heißt Relation.
Definition: Bei einer binären Relation ist k=2. Sie wird oft in Infixnotation 𝑥𝑅𝑦 angegeben.
Definition: Eine binäre Relation R ist reflexiv, wenn für alle 𝑥 ∈ 𝐴 gilt: 𝑥𝑅𝑥.
Definition: Eine binäre Relation R ist symmetrisch, wenn für alle 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 gilt: 𝑥𝑅𝑦 ⇒ 𝑦𝑅𝑥.
Definition: Eine binäre Relation R ist transitiv, wenn
für alle 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐴 gilt: 𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧 ⇒ 𝑥𝑅𝑧.
Oft werden Relationen auch als Mengen von Tupeln angegeben, für die das Prädikat wahr ist.
a. Geben Sie ein Beispiel für eine binäre Relation an.
b. Was für eine Relation können Sie für das Spiel „Schere, Stein, Papier“ angeben?
Stellen Sie eine Wahrheitstafel auf und geben Sie die Relation auch in
Mengenschreibweise an.
c. Ist die Relation aus b) reflexiv? Symmetrisch? Transitiv?
d. Welche Eigenschaften hat die Relation „>“ über den natürlichen Zahlen?
e. Geben Sie ein Beispiel für eine Relation, die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
Eine solche Relation nennt man Äquivalenzrelation.
f. Sei 𝑅𝑆 definiert als 𝑅𝑆 = {(𝑥, 𝑦)|∃𝑧 ∈ 𝐴: 𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦},
Sei 𝑅 0 = {(𝑥, 𝑥)|𝑥 ∈ 𝐴},
Sei 𝑅 𝑛+1 = 𝑅𝑅 𝑛 , 𝑛 ≥ 0,
dann definieren wir 𝑅 ∗ = ⋃𝑛≥0 𝑅 𝑛 .
Geben Sie die reflexive und transitive Hülle von
𝑅1 = {(𝑂, 𝐼), (𝐼, 𝑁), (𝑁, 𝑀), (𝐼, 𝑋), (𝑋, 𝑀)} an.
g. Geben Sie die reflexive und transitive Hülle der Relation 𝑅2 = {(𝑛, 𝑛 + 1)|𝑛 ∈ ℕ} an.
h. Beweisen Sie: 𝑅 ∗ ist die kleinste reflexive und transitive Relation, die 𝑅 umfasst (die
reflexive und transitive Hülle von 𝑅).
6) Boolesche Logik
a. Geben Sie die Wertetafeln für die Booleschen Operationen ∧, ∨, und ¬ an.
b. Stellen Sie die Wahrheitstabelle für die Folgerung (⇒) auf und zeigen Sie daran, wie
ein Widerspruchsbeweis funktioniert.
7) Beweise
a. Beweisen Sie durch einen Widerspruchsbeweis: √2 ist irrational.
b. Beweisen Sie durch vollständige Induktion: ∑𝑛𝑖=1 𝑖 =
𝑛(𝑛+1)
.
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