4.2.2 Ordnungsrelationen

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Kapitel 4
Es folgt Beispiel einer wichtigen Äquivalenzrelation.
Definition 4.2.20. Sei n 2 N mit n 2 gegeben. Es
bezeichnet auf Z
k n ` W ” 9m 2 Z W k D ` C mn
eine Relation. Sprechweise: k ist kongruent zu ` modulo
n. Notation: k ` .mod n/.
Bemerkung. Zwei Zahlen k; `, die kongruent modulo n
sind, haben bei Division durch n denselben Rest. Das
sieht man so: Hat ` bei Division durch n den Rest r , so
gibt es s 2 Z mit
Mengenlehre
Definition 4.2.22. Die
n-elementige Faktormenge
Z=n wird üblicherweise mit Zn bezeichnet. Man nennt
sie Restklassen modulo n.
4.2.2 Ordnungsrelationen
Im Folgenden wird andere Klasse von Relationen betrachtet. Sie dient der Ordnung, Beispiele sind „kleiner
gleich“, „größer gleich“, „Teilmenge von“.
(wobei r < n). Nach Annahme gilt ja k ` .mod n/,
also
Definition 4.2.24. (i) Eine reflexive und transitive
Relation 4 (sprich: „vor oder gleich“, oder „kleiner
gleich“) auf der Menge M heißt Ordnungsrelation oder
Halbordnung, falls sie zusätzlich antisymmetrisch ist,
d. h., a 4 b und b 4 a implizieren die Gleichheit a D b .
In Symbolen: 8a; b 2 M :
k D ` C mn
a 4 b ^ b 4 a =) a D b:
` D sn C r
für ein m 2 Z. Zusammen ergibt sich k D ` C mn D
sn C r C mn D .s C m/n C r , so dass Division von k
durch n ebenfalls den Rest r liefert.
Proposition 4.2.21. Die Relation n ist Äquivalenzrelation.
Beweis. Reflexivität: Es ist k D k C 0 n, also k n k .
Symmetrie: Gilt k n `, so gilt
k D ` C mn für ein m 2 Z.
Damit gilt auch ` D k
mn D k C . m/n, folglich
(wegen m 2 Z) ` n k .
Transitivität: Seien k1 n k2 und k2 n k3 erfüllt.
Damit existieren m1 ; m2 2 Z, so dass
k1 D k2 C m1 n;
k2 D k3 C m2 n
(ii) Gilt für zwei Elemente a; b von M weder a 4 b
noch b 4 a, so sagt man, dass a und b nicht vergleichbar sind ( bzgl. 4 ). Andernfalls nennt man a und b vergleichbar.
(iii) Sind je zwei Elemente von M vergleichbar, so
nennt man die Relation eine Totalordnung oder lineare
Ordnung auf M .
(iv) Ist auf einer Menge M eine (Total-)Ordnung 4 gegeben, so heißt das Paar .M; 4/ (total) geordnete Menge. M
Schreibweisen:
erfüllt ist. Das impliziert
k1 D k2 C m1 n D k3 C m2 n C m1 n
D k3 C .m1 C m2 /n
„ ƒ‚ …
2Z
Die Äquivalenzrelation n erzeugt exakt n Äquivalenzklassen, nämlich
0 D f 0; ˙n; ˙2n; ˙3n; : : : g;
1 D f 1; 1 ˙ n; 1 ˙ 2n; 1 ˙ 3n; : : : g;
n
Gilt x 4 y und x ¤ y , so schreibt man auch x y .
Analog definiert man x y .
Man kann auch x y definieren und setzt dann
x 4 y WD .x y oder x D y ).
Beispiel 4.2.25 (Ordnungen).
R ist Totalordnung.
und deshalb k1 n k3 .
::
:
Für x 4 y schreibt man auch y < x .
::
:
1 D f 1; 1 ˙ n; 1 ˙ 2n; 1 ˙ 3n; : : : g:
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Die Beziehung auf
Sei Menge von Menschen. Betrachte Relation
A B W”A ist Vorfahre von B .
Die Relation ist transitiv und reflexiv. Sie ist antisymmetrisch, da die Menge aller A; B mit A 4 B
und B 4 A gleich der leeren Menge ist.
Es gibt (unter Umständen) Menschen A; B 2 M ,
für die weder A 4 B noch B 4 A gilt. Es ist also
.M; 4/ i. A. keine Totalordnung.