Lernziele Zahlenfolge Def. (Folge) Def. (Arithmetische

Folgen (Prof. Dr. Wagner – FB AI)
Lernziele Zahlenfolge
Def. (Folge)
Eine M-wertige Folge ist eine Funktion f: N\{0} → M. Dabei bezeichnet N die Menge der natürlichen
Zahlen und M eine beliebige Menge.
Def. (Arithmetische / Geometrische Folge)
Eine reell-wertige Folge a: N\{0} → !R heißt arithmetische Folge, falls an+1 - an = d ∀ n ∈
N\{0}, d.h. die Differenz zweier benachbarter Folgenglieder einer arithmetischen Folge ist
konstant.
Die explizite Definition einer arithmetischen Folge ergibt sich als an = a1 + (n-1) * d.
Eine reell-wertige Folge b: N\{0} → !R heißt geometrische Folge, falls bn+1 / bn = q ∀ n ∈
N\{0}, d.h. der Quotient zweier benachbarter Folgenglieder einer geometrischen Folge ist
konstant.
Die explizite Definition einer geometrischen Folge ergibt sich als bn = b1 * qn-1.
Def. (Monotonie einer Folge)
Eine reell-wertige Folge (an) heißt monoton steigend, wenn sie von Glied zu Glied
gleichbleibt oder zunimmt, wenn also ∀ i ∈ N\{0} gilt: ai+1 ≥ ai.
Die Folge heißt streng monoton steigend, wenn sie von Glied zu Glied zunimmt, wenn also
∀ i ∈ N\{0} gilt: ai+1 > ai.
Die Begriffe monoton fallend und streng monoton fallend sind analog definiert.
Korollar (Monotonie von Folgen)
Sei (an) eine reell-wertige Folge. Gilt an+1-an < 0, so ist (an) streng monoton fallend.
Gilt an+1-an > 0, so ist (an) streng monoton steigend.
Def. (Beschränktheit einer Folge)
Eine reell-wertige Folge (an) heißt nach oben (unten) beschränkt, falls ∃ K mit an ≤ K (bzw. an ≥ K) ∀ n
∈ N\{0}.