8. Monotone Folgen

Folgen und Reihen
8. Monotone Folgen
Bei monoton steigenden Folgen nehmen die Werte der Glieder mit wachsendem n ständig zu, d.h.:
Definition: (an) ist monoton steigend ⇔ an ≤ an+1 für alle n ∈ .
(Monoton fallende Folgen sind entsprechend umgekehrt definiert.)
Beispiele:
an = 2n–1
bn =
1
n
cn = (–1)n
1, 3, 5, 7, …
monoton steigend
1, 1/2, 1/3, …
monoton fallend
–1, 1, –1, 1, … nicht monoton
€
(bn) fällt monoton
Um festzustellen, dass eine Folge monoton ist, genügt es nicht, nur ein paar einzelne Glieder
anzuschauen. Z.B. fällt die Folge an = (n–100)2 bis zu n = 100 und beginnt erst dann zu steigen. Es ist zu
prüfen, dass die Bedingung an ≤ an+1 wirklich für alle natürlichen Zahlen gilt. Dies können wir zeigen,
indem wir allgemein die Differenz d = an+1–an berechnen. Ist d ≥ 0, so ist (an) monoton steigend, ist
dagegen d ≤ 0, so ist (an) monoton fallend.
Beispiel: bn =
bn+1–bn =
€
1
n
1
1 n − (n + 1)
−1
− =
=
n +1 n
n(n + 1)
n(n + 1)
€
Gleichnamig machen mit comDenom()
Der Ausdruck ganz rechts ist sicher kleiner als 0, denn der Zähler ist negativ und der Nenner ist für alle
n ∈  positiv. Also ist (an) monoton fallend!
Aufgaben
8.1. Sind diese Folgen monoton steigend oder monoton fallend?
a) an = 5n–1
c) cn = 2+(–1)n
b) bn = 3/n
8.2. Bestimmen Sie auch hier die Monotonie!
a) an = n/(n+1)
b) bn = (n+1)/n
c) cn = n2/(n+1)
Lösungen
8.1.a) mon. steigend; b) mon. fallend; c) nicht monoton. 8.2.a) mon. steigend; b) mon. fallend; c) mon. steigend
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Folgen und Reihen
9. Beschränkte Folgen
Wie verhält sich eine Folge (an) , wenn der Wert von n sehr gross wird? Verändert sich dann an auch
sehr stark oder — im Gegenteil — bleibt der Wert von an in einem gewissen Bereich?
Übersteigt keines der Glieder von (an) einen gewissen maximalen Wert, dann wird die Folge heisst die
Folge von oben beschränkt.
Definitionen: (an) ist von oben beschränkt ⇔ Es gibt ein S mit an ≤ S für alle n ∈ .
(an) ist von unten beschränkt ⇔ Es gibt ein s mit an ≥ s für alle n ∈ .
(an) ist beschränkt, wenn (an) von oben und von unten beschränkt ist.
Beispiele:
an = 1/n
bn = (–1.2)n
Für (an) ist jede Zahl S ≥ 1 eine obere und jede
(bn) ist weder nach oben noch nach unten
Zahl s ≤ 0 eine untere Schranke. (an) ist also
beschränkt.
beschränkt.
Die einfachste Art, eine obere oder eine untere Schranke zu finden, ist das Einsetzen hoher Werte für n
(z.B. 10, 100 und 1000). Meistens zeigt es sich so schnell, ob die Folge über alle Schranken wächst oder
nicht. Eigentlich müsste eine unbekannte Folge mit einer bereits bekannten Folge verglichen werden. Man
nennt dies „eine Folge abschätzen“. Dies ist aber ziemlich schwierig. Deshalb werden wir es hier nicht
durchführen.
Aufgaben
9.1. Sind diese Folgen beschränkt?
a) an = 1+(–0.9)n
b) bn = 1+(–1)n
c) cn = 1+(–1.1)n
9.2. Bestimmen Sie auch hier die Schranken, falls solche existieren.
a) an = 5n–1
c) cn = n2/(n+1)
b) bn = 3/n
Lösungen
Hier sind immer die besten Schanken angegeben.
9.1.a) s = 0.1, S = 1.81; b) s = 0, S = 2; c) ---. 9.2.a) s = 4, kein S; b) s = 0, S = 3; c) s = 0.5, kein S.
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