Logik, Semantik und Verifikation SS 2002: Musterlösung zum 7

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Logik, Semantik und Verifikation SS 2002:
Musterlösung zum 7. Übungsblatt
Prof. Dr. Gert Smolka, Dipl.-Inform. Tim Priesnitz
Aufgabe 7.1: Funktionen und Fixpunkte (5) Nur die Identitätsfunktion λx.x erfüllt die geforderten
Eigenschaften.
Beweis (durch Widerspruch). Sei f 0 6= f eine weitere Funktion mit f 0 ∈ M → M und m Fixpunkten.
Da f 0 6= f , gibt es ein m ∈ M mit (1) f 0 (m) 6= f (m). Da m Fixpunkt von f und f 0 gilt f 0 (m) = m 6=
m = f (m), was ein Widerspruch zu (1) ist.
Aufgabe 7.2: Punktweise Ordnungen für Funktionen (5)
F
(a) f (x) = i ∈N f i (x)
(b) λx.⊥
Aufgabe 7.3: Triviale Ordnung mit ⊥ (5) Das kleinste Element von X ⊥ ist ⊥. Dieses Element ist
auch kleinste obere Schranke einer beliebig aufsteigende Kette x 0 ≤ x1 ≤ · · · mit xi ∈ X ⊥ , da
• falls ∀i ∈ N : xi = ⊥, dann ist ⊥ die kleinste obere Schranke.
• falls nicht ∀i ∈ N : xi = ⊥, dann gibt es ein i ∈ N, so dass x i 6= ⊥. Dann gilt für alle j ∈ N
und j ≥ i, dass xi = x j . Somit ist xi die kleinste obere Schranke.
Aufgabe 7.4: Stationäre VPOs (5)
(a) Der Beweis geht analog zu Aufgabe 7.3.
(b) Sei f ∈ X → X und f monoton. Sei x 0 ≤ x1 ≤ · · · eine beliebige aufsteigende Kette und sei
j ∈ N so, dass ∀i ∈ N, i ≥ j : x i = x j . Dann gilt f (x 0 ) ≤ f (x1 ) ≤ · · · ( f ist monoton) und
∀i ∈ N, i ≥ j : f (xi ) = f (x j ). Die Behauptung folgt dann mit:
!
G
G
xi = f (x j ) =
f (xi ).
f
i ∈N
i ∈N
Aufgabe 7.5: VPOs ohne kleinste Elemente (5) Wir wählen ≤ als die diskrete Ordnung auf N:
∀n, m ∈ N : n ≤ m
⇐⇒
n = m.
Damit ist hN, ≤i eine VPO, hat aber kein kleinstes Element: alle Elemente n, m ∈ N sind unvergleichbar, falls n 6= m. Die Identitätsfunktion f = λx.x ist stetig: Sei n 0 ≤ n 1 ≤ · · · eine beliebige,
aufsteigende Kette, dann:
!
G
G
G
f (n i ) =
ni = f
ni
i ∈N
i ∈N
i ∈N
Die Identitätsfunktion hat unendlich viele unvergleichbare Fixpunkte.
Aufgabe 7.6: Unstetige Funktionen (5) Wir definieren eine Funktion f ∈ P (N) → P (N) wie
folgt:
N
falls N = N
f (N ) :=
∅
falls N 6= N
f ist monoton, aber nicht stetig! Sei dazu N i := { j | j ∈ N und j ≤ i}. Die Ni bilden eine
aufsteigende Kette. Es gilt:
[
[
f (Ni ) =
∅=∅
i ∈N
i ∈N
aber
f
[
i ∈N
Ni
!
= f (N) = N