8.¨Ubung Analysis I für Inf/WInf Hausübungen

Lösungsvorschlag: 8.Übung Analysis I für Inf/WInf
Hausübungen
(H 22)
(a) Sei x < y. Dann ist f (x) < f (y) und g(x) ≤ g(y). Also ist
(f + g)(x) = f (x) + g(x) < f (y) + g(x) ≤ f (y) + g(y) = (f + g)(y).
Somit ist f + g streng monoton wachsend.
Die analoge Aussage gilt nicht für f · g. Wählt man für g etwa die Nullfunktion
g(x) ≡ 0, so ist auch f · g die Nullfunktion und somit nicht streng monoton steigend.
(b) Seien f und g beide streng monoton wachsend und seien x, y ∈ D(g) (der Definitionsbereich von g) mit x < y. Da g streng monoton wachsend ist, gilt g(x) < g(y).
Da f streng monoton wachsend ist, folgt daraus f (g(x)) < f (g(y)), also (f ◦ g)(x) <
(f ◦ g)(y).
Sind f und g beide streng monoton fallend, so gilt analog
x<y
⇒
g(x) > g(y)
⇒
f (g(x)) < f (g(y))
⇒
(f ◦ g)(x) < (f ◦ g)(y).
Ist f streng monoton wachsend und g streng monoton fallend, so gilt
x<y
⇒
g(x) > g(y)
⇒
f (g(x)) > f (g(y))
⇒
(f ◦ g)(x) > (f ◦ g)(y).
Also ist f ◦ g streng monoton fallend.
(c) Der Aufgabenteil (a) gilt sinngemäß auch für monoton fallende Funktionen. Da die
Exponentialfunktion streng monoton wachsend ist, ist e−x nach (b) streng monoton
fallend. Da −x streng monoton fallend ist, ist auch die Summe f (x) = e−x + (−x)
streng monoton fallend. Ferner f : R → R ist stetig. Nach dem Zwischenwertsatz
gibt es x ∈ R mit f (x) = 1. Wegen streng Monotonie ist diese x auch eindeutig und
man sieht, daß x = 0 die Gleichung genügt.
(H 23)
(a) Aus dem Binomischen Formel folgt für alle natürlichen Zahlen n ∈ N+ :
2n 2n X
X
2n
2n
2n
2n
2n
2 = (1 + 1) =
, 0 = (1 − 1) =
(−1)k .
k
k
k=0
k=0
2n
Bei Addition sind die Glieder mit ungeradem k weg, und man erhält 2
=2
n X
2n
k=0
1
2k
.
s
(−1)n = limn sup
(2n)!
s
1
(2n)!
q
1
1
Die Folge (2n)! konvergiert gegen 0 und damit n (2n)!
→ 0.
∞
X (−1)n
Wir setzen R = L1 = ∞. Dann gilt: die Reihe
x2n konvergiert absolute auf
(2n)!
n=0
jedem Intervall [−r, r], r ∈ R.
(b) Sei L = limn sup
n
(c) Wir betrachten: (cos(x))2 =
∞
X
(−1)n
n=0
(2n)!
n
∞
X
(−1)n
x2n ·
n=0
∞
X
(2n)!
x2n .
n
X
(−1)n
.
(2k)!(2(n
−
k))!
n=0
k=0
∞
2n−1
X
2
(−1)n 22n−1 2n
n
2
+
für n ∈ N und (cos(x)) = 1 +
x .
Nach (a) gilt cn = (−1)
(2n)!
(2n)!
n=1
Damit gilt
2
Nach dem Cauchy-Produkt gilt (cos(x)) =
2(cos(x))2 = 2 +
mit cn =
∞
X
(−1)n 22n
n=1
= 1+
cn x
2n
(2n)!
x2n ;
∞
X
(−1)n (2x)2n
n=0
(2n)!
;
= 1 + cos(2x).
(H 24)
(a) Sei En (x) =
n
X
xk
k=0
n!
, x ∈ R, n ∈ N+ .
Für x > 0 und n ∈ N gilt exp(x) ≥ En+1 (x) ≥
(n + 1)!
→ 0 für x → ∞.
xn
Für x < 0 folgt daraus |xn exp(x)| =
(−x)n
exp(−x)
xn+1
xn
; somit folgt
≤
(n + 1)!
exp(x)
→ 0 für x → −∞.
(b) Für xn → ∞ gilt yn := log xn → ∞. Nach (a) folgt dann
wegen α > 0.
2
log xn
yn
=
→0
α
xn
exp(αyn )