Funktionen in der Wirtschaftsmathematik, Teil 1

HTWD, Fakultät Informatik/Mathematik
Prof. Dr. M. Voigt
Arbeitsblatt 5-1
Wirtschaftsmathematik II
Funktionen in der Wirtschaftsmathematik, Teil 1
Angebots-Funktion: x = x(p), p ∈ D(x) = R+ = {p ∈ R : p ≥ 0}
Bedeutung:
Eigenschaften:
Angebots-Menge in Abhängigkeit vom erzielbaren Preis;
positiv, monoton steigend, i.a. mit Sättigungswert;
Preis-Absatz-Funktion: x = x(p), p ∈ D(x) = {p ∈ R : p ≥ 0 ∧ x(p) ≥ 0}
p = p(x), x ∈ D(p) = {x ∈ R : x ≥ 0 ∧ p(x) ≥ 0}
Bedeutung:
Eigenschaften:
Absatzmenge in Abhängigkeit vom Preis bzw. erzielbarer Preis in Abhängigkeit von
der abzusetzenden Menge;
beide Funktionen sind monoton fallend und zueinander invers (Umkehrfunktionen);
Erlös- bzw. Umsatz-Funktion: E(x) = x · p(x), D(E(x)) = D(p(x)),
E(p) = p · x(p), D(E(p)) = D(x(p))
Bedeutung:
Eigenschaften:
Erlös/Umsatz in Abhängigkeit vom Absatz oder vom Preis;
im monopolistischen Fall degressiv steigend bis zum Erlös-Maximum, dann progressiv
fallend;
im polypolistischen Fall (p konstant) linear steigend;
Kostenfunktion: K(x) = Kf + Kv (x), x ∈ D(K) = R+
Kf ≥ 0: Fixkosten, Kv (x) : variable Kosten
Bedeutung:
Eigenschaften:
Produktionskosten in Abhängigkeit von der Produktionsmenge;
positiv, monoton steigend;
Eine Kostenfunktion heißt ertragsgesetzlich, wenn sie auf [0, xS ] degressiv und auf
[xS , ∞) progressiv steigend ist,
xS heißt dann Schwelle des Ertragsgesetzes;
K(x)
Stückkostenfunktion: k(x) =
, x ∈ D(k) = (0, ∞)
x
Bedeutung:
Produktionskosten je Mengeneinheit in Abhängigkeit von der Produktionsmenge;
Eigenschaften: positiv, monoton fallend auf (0, xo ], monoton steigend auf [xo , ∞), das Minimum
kmin = k(xo ) = po der Stückkosten wird beim Output xo angenommen und heißt
Betriebsoptimum, es stellt (langfristig) die untere Schranke po für den Abgabepreis des Produktes dar, nur oberhalb dieser Schranke kann langfristig ohne Verlust
produziert werden.
HTWD, FB Informatik/Mathematik
Prof. Dr. M. Voigt
Arbeitsblatt 5-2
Wirtschaftsmathematik II
Funktionen in der Wirtschaftsmathematik, Teil 2
Bedeutung:
Eigenschaften:
Kv (x)
, x ∈ D(k) = (0, ∞)
x
variabler Teil der Produktionskosten, bezogen auf eine Mengeneinheit des Outputs,
in Abhängigkeit von der Produktionsmenge;
positiv, monoton fallend auf (0, xm ], monoton steigend auf [xm , ∞), das Minimum
kvmin = kv (xm ) = pm der variablen Stückkosten heißt Betriebsminimum, es stellt
(kurzfristig) die untere Schranke pm für den Abgabepreis des Produktes dar, nur oberhalb dieser Schranke können zumindest noch die laufenden Kosten der Produktion
gedeckt werden.
variable Stückkosten: kv (x) =
Gewinnfunktion: G(x) = E(x) − K(x), x ∈ D(G) = D(p),
Deckungsbeitrag: D(x) = E(x) − Kv (x) = G(x) + Kf , x ∈ D(D) = D(p)
Bedeutung:
Eigenschaften:
Gewinn (Deckungsbeitrag) in Abhängigkeit vom Output
monoton steigend bis zum Output xGmax = xDmax mit maximalem Gewinn/Deckungsbeitrag, danach progressiv fallend;
die Nullstellen x1 und x2 der Gewinnfunktion heißen untere/obere Gewinnschwelle,
wenn gilt G(x) ≥ 0 ⇐⇒ x ∈ [x1 , x2 ];
G(x)
Stückgewinnfunktion: g(x) =
= p(x) − k(x), x ∈ D(g) = D(p) \ {0}
x
Bedeutung:
Gewinn je Mengeneinheit in Abhängigkeit vom Output
Eigenschaften: monoton steigend bis zum Output xgmax mit maximalem Stückgewinn, danach progressiv fallend
Produktionsfunktion: x(r), r ∈ D(x) ⊆ R+
Bedeutung:
Eigenschaften:
Output in Abhängigkeit vom Input r
monoton steigend, meist bis zu einer Sättigungsgrenze xmax
Materialverbrauchsfunktion: r(x), x ∈ D(r) = [0, xmax )
Bedeutung:
Eigenschaften:
Verbrauch des Inputfaktors r in Abhängigkeit vom Output x
Umkehrfunktion der Produktionsfunktion
monoton steigend