Prüfungsklausur Wirtschaftsmathematik II A

HTW Dresden
FB Informatik/Mathematik
Prof. Dr. J. Resch
16. Juli 2008
Prüfungsklausur Wirtschaftsmathematik II
A
Studiengang Wirtschaftsinformatik
(120 Minuten)
Name, Vorname:
Matr.-nr.:
Aufgabe
Soll:
Anzahl der abgegebenen Blätter:
1
2
a
b
c
d
e
f
6
8
8
8
8
10
10
Unterschrift:
P
3
a
b
c
12
3
3
Note
76
Ist:
Allgemeine Hinweise:
• Die Lösung jeder Aufgabe bitte auf einer neuen Seite (oben) beginnen. Erstreckt sich die Lösung
einer Aufgabe über mehrere Seiten, so ist die Aufgabennummer auf jeder Seite oben anzugeben.
• Aussagen sind zu begründen. Falls Sie komplexere Formeln mit dem Taschenrechner berechnen
bzw. Gleichungen mit dem Taschenrechner lösen, so sind diese Formeln/Gleichungen anzugeben,
so dass der Lösungsweg nachvollziehbar ist.
• Für Lösungen sind Maßeinheiten anzugeben, falls diese sich aus der Aufgabenstellung ergeben!
1. In einem monopolistischen 1-Produkt-Unternehmen wurde der Absatz x in Abhängigkeit vom Preis p erfasst,
Preis p in e/ME
50
70
120
Absatzmenge x in ME 6000 4400 2400
woraus sich die folgende Nachfrage-Funktion ergibt.
½
10 000 − 80 p, p ∈ [50, 70]
xN (p) =
7 200 − 40 p, p ∈ (70, 120]
(a) Geben Sie an, welche Eigenschaften diese Funktion hat (Monotonie, Krümmungseigenschaften, Stetigkeit, Differenzierbarkeit).
(b) Wie würde die Nachfrage-Funktion xf
N (p) aussehen, wenn der Absatz bei einem Preis von 70 e auf 4000 ME sinkt, während er bei den Preisen von 50
und 120 e so bleibt, wie er in der Tabelle vorgegeben war?
(c) Bestimmen Sie zur ursprünglichen Preis-Absatz-Funktion xN (p) eine Erlösfunktion und daraus den Preis p0 ∈ [50, 120], bei dem der Erlös maximal wird sowie
das zugehörige Erlösmaximum.
(d) Für das Unternehmen wurde eine Angebotsfunktion
p
xA (p) = 2000 + 100 · 30 · (p − 40)
ermittelt. Bestimmen Sie den Preis p1 , bei dem die Angebotsmenge und die
absetzbare Menge identisch sind.
(e) Bestimmen Sie zu dem in Aufgabe (d) ermittelten Preis p1 die Konsumentenrente, wobei Sie davon ausgehen sollen, dass das Produkt für p > 120 nicht
mehr absetzbar ist. Falls Sie Aufgabe (d) nicht lösen konnten, gehen Sie dazu
von einem Preis pe1 = 64 e aus.
(f) Die in (d) angegebene Angebotsfunktion des Unternehmens ergab sich durch
Bestimmung der gewinnmaximalen Produktionsmengen in Abhängigkeit vom
Marktpreis p. Wie lautet die zugehörige Kostenfunktion K(x), wenn bekannt
ist, dass die Fixkosten 100 000 e betragen?
Hinweis: Überlegen Sie dazu, wie sich die gewinnmaximale Produktionsmenge in Abhängigkeit vom Preis bei einer bekannten Kostenfunktion berechnet.
2. Die Geschwindigkeit eines aus großer Höhe fallenden Körpers nähert sich wegen
der der Gravitationskraft m·g entgegenwirkenden Luftwiderstandskraft k ·v 2 einer
Grenzgeschwindigkeit
r
m·g
vgrenz =
.
k
Dies gilt natürlich auch für einen Fallschirmspringer, wobei sich m = m1 + m2
dann aus der Masse m1 des Springers und der Masse m2 = 10 kg der Ausrüstung
zusammensetzt.
Für Fallschirmspringer mit einer Körpermasse von m1 = 80 [kg] wird ein Fallschirm mit einem Luftwiderstandsfaktor k = 36 [kg/m] empfohlen, so dass sich
dann mit g ≈ 10ms−2 die angestrebte Grenzgeschwindigkeit von ca. 5 m/s ergibt.
Bestimmen Sie mit Hilfe der Differentialrechnung (Fehlerrechnung mit Hilfe des
Differentials oder der Elastizität), um wie viel Prozent ein Springer maximal
schwerer (als 80 kg) sein darf, damit seine Grenzgeschwindigkeit um nicht mehr
als 10% über dem angestrebten Wert liegt?
3. Die folgende Produktionsfunktion gibt die Produktionsmenge x eines Produktes in
Abhängigkeit von den Einsatzmengen r1 , r2 zweier Inputfaktoren an (alle Angaben
in ME).
3
1
x(r1 , r2 ) = 1000 · r18 · r22 ,
r1 > 0, r2 > 0 .
Die Einkaufspreise für die Inputfaktoren betragen p1 = 40 und p2 = 100 [e/ME],
der Verkaufspreis des Produktes liegt bei 0.44 e/ME.
(a) Ermitteln Sie für einen vorgegebenen Output von 1 000 000 ME den kostenminimalen Faktoreinsatz nach der Methode der Lagrange-Multiplikatoren
und weisen Sie nach, dass es sich dabei tatsächlich um ein Minimum handelt!
(b) Wie groß ist der Lagrange-Multiplikator und was gibt er an?
(c) Um wie viel würde der Gewinn (Differenz aus dem Verkaufserlös und den
Kosten für die beiden Inputfaktoren) näherungsweise wachsen oder fallen,
wenn 100 ME mehr hergestellt werden könnten?
Lösungen
1. (a) streng monoton fallend, konvex, stetig, nicht differenzierbar
½
11 000 − 100 p, p ∈ [50, 70]
(b) xf
N (p) =
6 240 − 32 p, p ∈ (70, 120]
½
10 000 p − 80 p2 , p ∈ [50, 70]
(c) E(p) =
,
7 200 p − 40 p2 , p ∈ (70, 120]
Emax = 324 000 e bei p = 90 e/ME
(d) p1 = 65.4563 e/ME
(e) KR = 190 817.96 e (bzw. KR = 197 840 e bei pe1 = 64)
(f) K(x) =
x3
900 000
−
x2
150
+
160 x
3
+ 100 000
2. 22.5% (bzw. 18 kg)
3. (a) r1 = 3 842.13
x2 = 2 049.14
Kmin = 358 598.88 e
(b) λ = 0.409 827 =⇒ Grenzkosten ca. 0.41 e/ME
(c) 4G ≈ 3 e/100ME