¨Ubungen zur Einführung in die Festkörperphysik WS 2014/2015

Übungen zur Einführung in die Festkörperphysik WS 2014/2015
Lehrstuhl für Experimentelle Physik II, TU Dortmund
Prof. Dr. Markus Betz
Blatt 5
Abgabe bis 07.11.2014 12:00 Uhr
(Besprechung am 11./12.11.2014)
Aufgabe 1: Madelungkonstante von Natriumchlorid in drei Dimensionen
(6 Punkte)
Berechnen Sie die ersten beiden Folgenglieder (n = 1, 2) der Madelungkonstante α = limn→∞ αn
für das dreidimensionale Natriumchlorid-Gitter (Abbildung 1).
2a
2a
Abbildung 1: NaCl Struktur. Der Würfel zur Berechnung von α1 ist in grau gekennzeichnet (gestrichelte Linien). Es werden die Nachbarn zum ebenfalls in grau gekennzeichneten Ion in der Mitte
des Ausschnitts aus der Kristallstruktur betrachtet.
Damit die Madelungfolge schnell konvergiert, berücksichtigen Sie in jedem Iterationsschritt n die
Coulombwechselwirkung des i-ten Ions mit denjenigen Ionen, die innerhalb oder auf dem Rand
eines Würfels der Kantenlänge 2na um das in der Mitte liegende i-te Ion liegen (Abbildung 2).
Gewichten Sie die einzelnen Beiträge mit dem Anteil, zu dem die jeweiligen Nachbarionen zum
betrachteten Würfel gehören (also z.B. Faktor 0,5 für ein Ion, das in einer Seitenfläche des Würfels
sitzt). (Der Literaturwert für die Madelungkonstante von NaCl ist α = 1, 7476; wenn man sich die
Zeit nimmt, um α3 zu berechnen, kommt man mit der hier verwendeten Methode bereits auf auf
α3 = 1, 7470.)
Aufgabe 2: Kompression von Kaliumchlorid (7 Punkte)
Das Wechselwirkungspotential in einem Ionenkristall wie Kaliumchlorid (KCl, kristallisiert in der
NaCl-Struktur) setzt sich, wie aus der Vorlesung bekannt, aus einem anziehenden Coulomb-Anteil
UC = −N
e2
α
4π0 r
und einem abstoßenden Born-Mayer-Anteil
UBM = N ZBe
−r
ρ
zusammen. Dabei sind r der Abstand nächster Nachbarn, α die Madelungkonstante, Z die Koordinationszahl und N die Gesamtzahl der Ionenpaare im Kristall. B ist ein Maß für die Stärke des
abstoßenden Potentials, ρ beschreibt seine Reichweite.
(a) Im Gleichgewichtszustand (Abstand nächster Nachbarn r = r0 ) müssen sich Anziehung und
Abstoßung gerade kompensieren. Zeigen Sie, dass daraus folgt:
ZBe
−r0
ρ
=
ρ e2
α.
r0 4π0 r0
(b) Bestimmen Sie die Koordinationszahl Z von KCl und das Kristallvolumen in Abhängigkeit von
N und r0 .
(c) Bei einer Kompression des KCl-Kristalls unter äußerem Druck p erhöht sich das Wechselwirkungspotential U um dU = −pdV , wobei dV die Änderung des Kristallvolumens ist. Geben Sie
die Kompressibilität κ = − V1 dV
dp in Abhängigkeit von r0 , B, ρ und α an.
d2 U
d2 U
dr 2
dU d2 r
Hinweis: dV 2 = dr2 dV + dr dV 2 .
2
(d) Die Gitterkonstante von KCl ist a = 3, 147Å, die Kompressibilität κ = 5, 75 · 10−11 m
N . Benutzen Sie diese Angaben und Ihre Ergebnisse aus den bisherigen Teilaufgaben, um explizit die Werte
für B und ρ für KCl auszurechnen.
Aufgabe 3: Eigenschwingung einer endlichen Punktkette (7 Punkte)
Betrachten Sie eine Kette aus 3 Punktmassen m, die mit masselosen Federn der Federkonstante
D gekoppelt sind und deren Enden fixiert sind. Die Bewegung der Massen erfolgt nur in Richtung
der Kette.
D
m
x1
D
m
x2
D
m
D
x3
(a) Stellen Sie die 3 Bewegungsgleichungen für die Auslenkung xn der Massen n auf, wobei Sie
annehmen, dass jede Masse nur die Kräfte der/des direkten Nachbarn erfährt.
(b) Stellen Sie die Gleichungen aus (a) in einer Matrix-Form dar und verwenden Sie als Ansatz
für die Zeitabhängigkeit x ∝ eiωt , um die Matrix-Differentialgleichung in ein Eigenwertproblem
umzuformen. Bestimmen Sie aus den Eigenwerten der Matrix die Eigenschwingungsfrequenzen der
Kette. Bestimmen Sie zusätzlich die Eigenvektoren und damit die Form der Eigenschwingungen
dieser linearen Kette.