7.Tutorium (04.06.12

Mathematik II für Wirtschaftswissenschaftler
Sommersemester 2012
7.Tutorium (04.06.12 - 08.06.2012)
(Ableitungen, Änderungsrate, Elastizität)
1. Berechnen Sie für die nachfolgenden Funktionen f die erste Ableitung f 0 ,
die Änderungsrate %f und die Elastizität εf .
1
1
1
(a) f (x) = x − x2 + x3 − x4
2
3
4
1
(b) f (x) = a(x2 )− 3 (x > 0, a ∈ R, a 6= 0)
(c) f (x) = xn ax
1
(d) f (x) = x 3 e
1
x2
(x > 0, n ∈ N, a ∈ R, a > 0)
(x > 0)
4
x −1
(x 6= 1, x 6= −1)
x2 − 1
ax + b
d
(f) f (x) =
(x 6= − )
cx + d
c
−n
(g) f (x) = (x + a)(x + b)x
(x 6= 0, n ∈ N )
(e) f (x) =
3
(h) f (x) = ex − (ex )3
r
1 + sin x
π
(i) f (x) = ln
(x 6= + kπ, k ∈ Z)
1 − sin x
2
−x n
(j) f (x) = e x (x > 0)
2. Gegeben sei die Kostenfunktion K(x) = x3 − 15x2 + 81x + 20,
wobei x die Anzahl des hergestellten Gutes ist,
welches zum Preis p = 54 (in Geldeinheiten pro Stück) verkauft wird.
(a) Bestimmen Sie die Erlösfunktion (Umsatzfunktion).
(b) Wieviel muss hergestellt werden, um den Gewinn zu maximieren? Wie groß ist
der maximale Gewinn?
(c) An welcher Stelle x erreichen die Grenzkosten ihr Minimum, welchen Wert
haben sie an dieser Stelle? Wie groß sind die Durchschnittskosten an dieser
Stelle?
3. Ein Kapital K0 werde mit p Prozent stetig verzinst . Berechnen Sie die Elastizität
pt
εK der Funktion K(t) = K0 · e 100 , welche den Kontostand zur Zeit t beschreibt und
interpretieren Sie das gewonnene Ergebnis.
4. In Abhängigkeit vom Preis p je Mengeneinheit (ME) lauten Nachfrage- und An1 2
gebotsfunktion für eine Ware N (p) = 64 − 41 p2 und A(p) = 20
p + 3p + 4 für
2 < p < 16.
(a) Bestimmen Sie den Gleichgewichtspreis (Marktpreis) pM aus N (pM ) = A(pM ).
(b) Berechnen Sie Nachfrage- und Angebotselastizität bei diesem Marktpreis.
1
2
5. Sei y = f (p) = 2p e−0.02p die Nachfragemenge in Abhängigkeit vom Preis p je ME.
(a) In welchem Bereich ist f (p) streng monoton fallend ?
(b) Berechnen Sie die Elastizität von f (p) für p = 6.
(c) Berechnen Sie die Elastizität der von Preis abhängigen Umsatzfunktion
U (p) = p · f (p) über die Elastizitäten der beiden Faktoren p und f (p).
6. Ermitteln Sie für die folgenden Funktionen jeweils die Elastizitäten εf und bestimmen Sie die Bereiche, in denen die Funktionen
unelastisch ( d.h. |εf | < 1 ),
proportional-elastisch ( d.h. |εf | = 1 )
bzw. elastisch ( d.h. |εf | > 1 ) sind.
(a) f (x) = eax+b
√
(b) f (x) = 1 − x2
(c) f (x) =
x
x−1
(|x| < 1)
(x 6= 1)
2