¨Ubungen zur Vorlesung: Statistische Mechanik

Prof. Dr. R. Egger
Dipl.-Phys. A. Schulz, Dipl.-Phys. J. Eckel
Wintersemester 07/08
Blatt 11
Übungen zur Vorlesung: Statistische Mechanik
Übungstermin: Do, 24. Januar 2008, 11:00 Uhr, 25.32.O3.51
Abgabe bis Mi, 23. Januar 2007, 13:00 Uhr, 25.22.O2.31
34. Aufgabe: Bose-Einstein-Kondensation
Gegeben sei ein spinloses nichtrelativistisches ideales Bose-Gas aus Teilchen der Masse m bei der Temperatur
T in einem Kasten mit Volumen V .
(a) Nehmen Sie an, dass die Teilchendichte n = N/V =const. ist. Geben Sie die q
innere Energie E/N pro
Teilchen und die freie Energie F/N pro Teilchen als Funktion von T, n, λ = ~ mk2πB T und z = eµ/kB T
an!
1 Punkt
(b) Wie lautet die thermische Zustandsgleichung? Skizzieren Sie den Druck P in Abhängigkeit von der Temperatur T für V =const. (Isochoren)!
(Hinweis: Skript (5.6). Unterscheiden Sie die beiden Bereiche T > Tc und T < Tc .)
3 Punkte
(c) Berechnen Sie die Entropie des idealen Bose-Gases!
d
(Hinweis: dz
gν (z) = z1 gν−1 (z).)
2 Punkte
(d) Berechnen Sie die Wärmekapazität CV bei konstantem Volumen! Welchen Grenzwert erhalten Sie für
T → ∞? Welchen Wert hat CV bei T → Tc ?
3
(Hinweis für den Bereich T > Tc : Leiten Sie beide Seiten der Gleichung λv = g3/2 (z) nach der Tempe∂z
.)
3 Punkte
ratur ab. Daraus erhalten Sie ∂T
(e) Eine wichtige Rolle spielt die Funktion
2
g3/2 (z) = √
π
∞
∞
Z
du
0
X zk
u1/2
=
.
u
−1
e z −1
k 3/2
k=1
Substituieren Sie im Integranden u = x2 , wodurch Sie die Form
Z ∞
x2
4
dx x2 −1
g3/2 (z) = √
π 0
e z −1
erhalten. Untersuchen Sie damit g3/2 (z) − g3/2 (1) in der Nähe von z = 1, d.h. also für kleine α ≥ 0, z =
e−α ≤ 1, indem Sie im entsprechenden Integranden
1
ex2 +α
−1
−
ex2
1
1
1
durch 2
− 2
x +α x
−1
ersetzen. Bestimmen Sie α in Abhängigkeit von vc /v, wobei v =
2
1
(Lösung: α = 4π
[g3/2 (1)]2 1 − vvc ).
1
λ3
g3/2 (z)
und vc =
λ3
g3/2 (1)
sind.
2 Punkte
Übungen zur Vorlesung: Statistische Mechanik, Blatt 11
(f) Von Interesse ist die Abhängigkeit von CV von der Temperatur T . Berechnen Sie den Sprung der
Ableitung von CV nach T bei der kritischen Temperatur T = Tc , i.e.,
∂CV
∂CV
∆=
−
.
∂T T →Tc+
∂T T →Tc−
(Hinweis: Um den Sprung der Ableitung zu berechnen, ist es nützlich, g5/2 (z) um z = 1 zu entwickeln,
also g5/2 (z) = g5/2 (1) + . . . . Dazu kann einerseits der erste Hinweis aus (c) und andererseits die Lösung
∂
aus (e) verwendet werden. Daraus ergibt sich eine Differentialgleichung ∂α
g5/2 (z) = . . . , die direkt
gelöst werden kann, wobei die Integrationskonstante wesentlich ist. Daraus erhält man die Differenz
der beiden inneren Energien für T > Tc und T < Tc , woraus sich direkt ∆ berechnen läßt. Lösung:
27 kB N
2
∆ = − 16π
Tc [g3/2 (1)] .)
2 Punkte
(g) Skizzieren Sie CV = CV (T )!
(Hinweis: g1/2 (z → 1) → ∞).
3 Punkte
(Hinweis: Für z → 0 ist g1/2 (z) ≈ g3/2 (z) ≈ g5/2 (z) ≈ z.)
2
Übungen zur Vorlesung: Statistische Mechanik, Blatt 11
35. Aufgabe: Erdtemperatur bei stationärer Bestrahlung durch die Sonne
Die Oberflächentemperatur der Sonne ist TS = 5800 K, ihr Radius beträgt RS = 6.96 × 108 m, während der
Erdradius RE = 6.37 × 106 m misst. Der mittlere Abstand Sonne-Erde ist L = 1.5 × 1011 m. Nehmen Sie an,
dass sämtliche auf die Erde oder die Sonne treffende elektromagnetische Strahlung absorbiert wird. Nehmen
Sie ferner an, dass sich auf der Erde ein stationärer Zustand eingestellt hat.
(a) Zeigen Sie, dass aus dem Planckschen Strahlungsgesetz für die Energiedichte pro Volumen- und Frequenzeinheit u(ω) das Stefan-Boltzmann-Gesetz für die gesamte abgestrahlte Leistung pro Flächeneinheit P , also P (T ) = σT 4 folgt.
2 Punkte
(b) Wie groß ist die Temperatur TE auf der Erde? Hängt diese vom Erdradius ab?
2 Punkte
Hinweis:
Am Dienstag, den 29. Januar 2008 findet um 9:15 Uhr im Hörsaal 5M die zweite Klausur statt. Es
sind keine Hilfsmittel zugelassen, alle notwendigen Hilfsformeln werden angegeben. Zur Vorbereitung der Klausur
empfiehlt es sich, neben dem gesamten Stoff im Skript auch alle Übungsaufgaben (Blatt 1-11) genau anzuschauen.
Die Klausur wird am Donnerstag, den 31. Januar 2008 um 11:15 Uhr in Raum 25.32.O3.51 besprochen.
3