Fachprüfung Mathematik 1 Teil 1: Fragen

Hochschule Anhalt (FH)
Köthen, den 16. März 2005
Fachprüfung Mathematik 1
für Studierende des Studienganges Biomedizinische Technik
(Wiederholungsklausur)
Name:
Punkte:
Matr.-Nr.:
Bewertung:
Hinweise:
Um die volle Punktzahl zu erreichen, müssen die Fragen aus Teil 1 (kurz) beantwortet werden. Außerdem
sind die Pflichtaufgaben von Teil 2 und mindestens eine der Wahlaufgaben von Teil 3 zu lösen.
Punkteverteilung
Aufgabe
Punkte
1
5
2
5
3
5
Teil 1
4 5
5 5
6
5
7
5
1
13
Teil 2
3
4
13 13
2
13
5
13
6
13
1
21
Teil 3
2
3
21 21
Zugelassene Hilfsmittel sind Rechner, Tabellenwerk, Formelsammlung ohne durchgerechnete Beispiele.
Die Bearbeitungszeit für die Klausur beträgt 4 Stunden.
Teil 1: Fragen
0 1 1
1. Berechnen Sie das Produkt der Determinanten 1 0 1
1 1 0
0 2 2
und 2 0 2
2 2 0
auf drei verschieden Arten.
2. Zeigen Sie, daß die n × n Matrix C = A · AT symmetrisch ist. Welchen Typ kann dabei die Matrix A
besitzen?
3. Berechnen Sie das Integral
−∞
R
2
xe−x dx.
0
4. Nennen Sie die Schritte, die Sie abarbeiten müssen, um die globalen Extrema der auf dem Definitions
bereich Dg = (x, y, z) ∈ IR3 x2 + y 2 = 4, x + y + z ≤ 1 erklärten Funktion g(x, y, z) zu ermitteln.
5. Charakterisieren Sie die Differentialgleichung xy 0 + y = x2 + 1 und beschreiben Sie, welche Schritte
zur Bestimmmung der allgemeinen Lösung abzuarbeiten sind.
6. Skizzieren Sie in der x, y-Koordinatenebene das Integrationsgebiet G des Integrals
Z
2
(x + 2y) dx dy =
Z
1
−1
G
Z
1−y 2
(x2 + 2y) dx dy.
0
7. Bestimmen Sie für die Funktion f (x) = cos2 x die Koeffizienten ak und bk der Fourierentwicklung
∞
f (x) =
a0 X
+
(ak cos(kx) + bk sin(kx)).
2
k=1
Teil 2: Pflichtaufgaben
1
1. Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f (x) = |x−1|
und bestimmen Sie den Punkt (x0 , f (x0 )),
in dem die angelegte Tangente senkrecht auf der durch den Punkt (−x0 , f (−x0 )) verlaufenden Tangente
steht.
2. Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen z der Gleichung
z(z + 2i) = −(4z + 3)
in algebraischer und in trigonometrischer Darstellung.
3. Bestimmen Sie den größten und den kleinsten Wert, den die Summe
pi ∈ [0, 1] mit
n
P
n
P
i=1
p2i für Wahrscheinlichkeiten
pi = 1 annehmen kann.
i=1
4. Lösen Sie das Anfangswertproblem
y 0 + 4xy 3 = 0
für y(0) = −1.
5. Stellen Sie die Randlinie K des Einheitskreises in Parameterform dar und berechnen Sie damit den
Umfang |K| des Einheitskreises durch Integration.
6. Berechnen Sie in Abhängigkeit von a die Integrale
Z 1 Z 1−y2
Z
2
I1 (a) =
(x + ay) dx dy und I2 (a) =
−1
0
1
−1
Z
1−x2
(x2 + ay) dy dx.
0
Differenzieren Sie die so erhaltenen Funktionen I1 (a) und I2 (a) und Überprüfen Sie, ob bei partieller
Differentiation unter dem Integral nach a und anschließender Integration das gleiche Resultat entsteht.
Teil 3: Wahlaufgaben
1. Durch den Rollwiderstand wird ein Fahrzeug so abgebremst, daß seine Verzögerung in guter Näherung
proportional zur augenblicklichen Geschwindigkeit v(t) ist.
Stellen Sie eine Differentialgleichung für die Geschwindigkeit v auf und geben Sie deren allgemeine
Lösung an. Nutzen Sie den Zusammenhang v = ds mit s(0) = 0, um allgemein den vom Fahrzeug
dt
zurückgelegten Weg zu bestimmen. Skizzieren Sie, wie v(t) vom zurückgelegten Weg s(t) abhängt.
Ein nur durch den Rollwiderstand beeinflußtes Fahrzeug auf ebener Strecke hat zum Zeitpunkt t = 0
eine Geschwindigkeit von v0 = 100 km/h. Nach 200 m ist seine Geschwindigkeit auf 90 km/h gefallen.
Welches Gefälle hat eine abschüssige Straße, auf der das rollende Fahrzeug seine Geschwindigkeit von
v0 = 100 km/h beibehält?
2. Überprüfen Sie die Gültigkeit des Gaußschen Integralsatzes in der Ebene an folgendem Beispiel.
Berechnen Sie zunächst für das Vektorfeld f = (f1 (x, y), f2 (x, y))T
mit f1 (x, y) = xy
f2 (x, y) = x + y die Divergenz divf und integrieren Sie diese über den Einheitskreis
K = (x, y) ∈ IR2 | x2 + y 2 ≤ 1 .
und
Vergleichen Sie anschließend diesen Wert mit dem entsprechenden Umlaufintegral von f über den
Rand ∂K von K.
3. Berechnen Sie die Masse eines Zylinders mit der Höhe H und dem Radius R aus einem inhomogenen
Material. Die Dichte dieses Materials besitzt in der Symmetrieachse den Wert % = 1 und wächst
proportional zum Quadrat des Abstands von dieser Achse auf den Wert % = 2 auf dem Mantel an.