Übung 1 - (IGPM) | RWTH Aachen

Rheinisch-Westfälische Technische Hochschule Aachen
Institut für Geometrie und Praktische Mathematik
Numerisches Rechnen WS 2011/12
Prof. Dr. M. Grepl
Dipl. Math. P. Esser – Dipl. Math. G. Welper – L. Zhang, M.Sc.
Übung 1
Abgabe bis 15:30 Uhr am 26.10.2011 in Kasten vor R. 102 Hauptgebäude
Aufgabe 1: (Matrix-Norm) [4+3]
a) Sei C :=
1 2
∈ R2×2 . Berechnen Sie ||C||1 , ||C||2 und ||C||∞ .
3 −4
b) Sei A ∈ Rm×n . Zeigen Sie: Für die durch ||.||∞ induzierte Matrixnorm gilt:
( n
)
X
||A||∞ = max
|aik | .
i=1,...,m
k=1
Aufgabe 2: (Norm) [3+2]
a) Welche der folgenden Abbildungen R2 7→ R (d.h. x = (x1 , x2 )) definieren Normen?
Zeigen Sie für die übrigen, dass eines der Norm-Axiome nicht erfüllt ist.
p
p
(c1) x 7→ |x1 | + |x2 |
2
p
p
|x1 | + |x2 |
(c2) x 7→
(c3) x 7→ |x1 − x2 | + |x1 + x2 |
b) Beweisen Sie für x ∈ Rn die Ungleichungen
kxk∞ ≤ kxk2 ≤
√
nkxk∞
und finden Sie Vektoren x1 und x2 für die die Gleichheit in der linken bzw. rechten
Ungleichung gilt.
Aufgabe 3: (Taylor-Entwicklung) [5]
Berechnen Sie näherungsweise 1.051.02 mit einem Fehler < 10−4 . Wenden Sie dazu auf
die Funktion f (x, y) = xy die Taylorentwicklung bis zu den Gliedern 2. Ordnung um
(x0 , y0 ) = (1, 1) an.
2
Aufgabe 4: (Kondition) [1+2+2]
a) Zeigen Sie: Die Division zweier von Null verschiedenen reellen Zahlen ist gut konditioniert.
1
2
b) Sei A :=
∈ R2×2 . Berechnen Sie die Konditionszahl von A bzgl. ||.||∞
2 3.999
und ||.||1 .
c) Berechnen Sie die Konditionszahl von der Funktion f (x, y, z) = ex yz. Überprüfen
Sie, in welchen Teilen ihres Definitionsbereiches die Funktion qualitativ gut, bzw.
schlecht konditioniert ist.