¨Ubungen zur Vorlesung Mathematische Methoden der Chemie I

SoSe 2011
Blatt Nr. 5
18.05.2011
PD Dr. S. Grebenschikov
Prof. W. Domcke
Übungen zur Vorlesung
Mathematische Methoden der Chemie I
Präsenzübungen
Aufgabe 1
Gegeben sei ein regulärer Tetraeder der durch folgende drei Kantenvektoren mit gemeinsamer Ecke
festgelegt ist.
 
 
 
0
1
1
 
 
 
u = a 1 , v = a 0 , w = a 1 , a ∈ R+
1
1
0
(a) Berechnen Sie die Gesamtoberfläche O(a) des Tetraeders in Abhängigkeit des Parameters a.
(b) Berechnen Sie das Volumen V (a) des Tetraeders in Abhängigkeit des Parameters a.
Hinweis: Diese Aufgabe ist unter Verwendung der in der Vorlesung behandelten Methoden der Vektorrechnung zu lösen. Das Volumen kann mit der Formel V = 13 Gh berechnet werden, wobei G die
Grundfläche und h die Höhe bezeichnet.
Aufgabe 2
Kreuzprodukt:
(a) Begründen Sie geometrisch (in Worten und durch eine Skizze), warum zu gegebenen x0 , u ∈ R3
die Menge der Punkte
G = {x : (x − x0 ) × u = 0}
die Gerade durch x0 in Richtung u ist.
!
!
−2
1
,s∈R
,y=
(b) Gegeben seien die Vektoren x =
5
s
Bestimmen Sie s ∈ R unter Verwendung des Kreuzproduktes so, dass x und y parallel sind.
Hinweis: Erweitern Sie die Vektoren auf drei Dimensionen.
Aufgabe 3
Gegeben seien zwei Ebenen in Parameterdarstellung:
E1 : r1
E2 : r2






0
0
1






1
+
µ
=  0  + λ
 0 


1 
1 
0


1
0




=
λ  −2  + µ  0  , λ, µ ∈ R.
1
1
(a) Berechnen Sie mit dem Vektorprodukt für jede Ebene Ei einen Normalenvektor ni .
(b) Geben Sie für beide Ebenen mittels der Normalenvektoren parameterfreie Darstellungen an.
(c) Berechnen Sie den Winkel zwischen den beiden Ebenen unter Verwendung der Normalenvektoren n1 und n2 .
(d) Berechnen Sie mit Hilfe von n1 und n2 einen Vektor n3 , der sowohl in E1 wie in E2 liegt.
(e) Geben Sie einen Punkt r3 an, der in beiden Ebenen liegt.
(f) Stellen Sie nun die Gleichung der Schnittgerade von E1 und E2 auf.
Aufgabe 4
Gegeben ist die Ebene E im R3
2x − y + 2z = 1
(a) Bestimmen Sie die Hessesche Normalform dieser Ebene.
(b) Berechnen Sie den Abstand des Koordinatenursprungs sowie des
Punktes P = (1, 1, 1) von der Ebene E.


1


(c) Bestimmen Sie den Parameter β des Ortsvektor ~a= β  1  so, dass der Endpunkt des Vektors
1
in der Ebene E liegt.
(d) Bestimmen Sie mittels des Kreuzprodukts einen Vektor ~b, der senkrecht auf ~a steht und in der
Ebene E liegt.
Hausaufgaben
Aufgabe 1
Im Methan-Molekül CH4 liegt das C-Atom im Zentrum und die H-Atome Hj , j = 1, . . . , 4 an den
Ecken eines regulären Tetraeders. Das Tetraeder sei in einen Würfel der Kantenlänge 2s eingebettet,
so dass sich das C-Atom im Mittelpunkt des Würfels und die H-Atome an den Würfelecken befinden.
Das Koordinatensystem sei so 
gewählt,
 dass das C-Atom im Ursprung liegt und die Lage eines Hs


Atoms durch den Vektor a1 =  s  gegeben ist.
s
(a) Fertigen Sie eine Skizze an.
(b) Wie lauten die Ortsvektoren aller H-Atome in Einheiten der C-H-Bindungslänge d? Stellen Sie
dazu eine Beziehung zwischen d = ||a1 || und s her.
(c) Bestimmen Sie mit Hilfe der Vektorrechnung den Abstand zweier H-Atome sowie den TetraederWinkel H-C-H und den Winkel H-H-H.
(d) Berechnen Sie das Lot von H3 auf die Gerade durch H2 und H4 .
Aufgabe 2
Gegeben sind die drei Punkte im R3
A = (1, 1, 0), B = (0, 0, 1) und C = (1, 2, 1)
(a) Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung der Ebene E, die durch diese drei Punkte geht.
(b) Geben Sie eine parameterfreie Darstellung der Ebene E an.
(c) Bestimmen Sie die Hessesche Normalform der Ebene E.
(d) Berechnen Sie den Abstand des Punktes D = (1, 2, 3) von der Ebene E.
(e) Handelt es sich bei der Ebene um einen Untervektorraum des R3 ?
Abgabe: Montag, 23.05.2011 in der Übungsstunde