Blatt 8

Theoretische Physik
Thermodynamik und statistische Physik (T4)
Prof. Dr. U. Schollwöck
17. Juni 2013
Blatt 8
Sommersemester 2013
Aufgabe 22: Elastischer Faden
Für das Dehnen eines Fadens der Länge x muss eine Kraft
J = ax − bT + cT x
(1)
aufgewendet werden. a, b und c sind Konstanten. Die Wärmekapazität des Fadens bei konstanter Länge
sei Cx = A(x)T .
(a) Berechnen Sie
∂S
|
∂x T
über eine Maxwell-Beziehung.
(b) Zeigen Sie, dass A(x) tatsächlich unabhängig von x ist.
(c) Berechnen Sie S(T, x) unter der Annahme, dass S(0, 0) = S0 .
∂S
(d) Berechnen Sie die Wärmekapazität bei konstanter Spannung, CJ = T ∂T
|J als Funktion von J und
T.
Aufgabe 23: Gas massiver Teilchen
Ein Gas erfülle die Zustandsgleichung P (V − N b) = N kB T und hat eine von T unabhängige Wärmekapazität CV .
(a) Geben Sie eine Maxwell-Beziehung für
∂S
|
∂V T
an.
(b) Zeigen Sie, dass U (T, V ) nicht von V abhängt.
(c) Zeigen Sie, dass γ :=
Cp
CV
=1+
N kB
CV
ist, unabhängig von T und V .
(d) Zeigen Sie, dass die Adiabatengleichung in der P V -Ebene die Form P (V − N b)γ = const hat.
Aufgabe 24: Phasenübergang zum Supraleiter
Viele Metalle gehen bei tiefen Temperaturen (T ) und kleinen Magnetfeldern (B) von der normaleitenden (n) in eine supraleitende (s) Phase über. Im betrachteten Bereich kleiner Temperaturen sind die
Wärmekapazitäten in der jeweiligen Phase durch
Cs (T ) = V αT 3
Cn (T ) = V (βT 3 + γT ).
(2a)
(2b)
gegeben. α, β und γ sind Konstanten. Beim Phasenübergang zum Supraleiter ändert sich das Volumen
V kaum, und mechanische Arbeit kann deshalb in der gesamten Aufgabe vernachlässigt werden.
(a) Berechnen Sie die Entropien Ss (T ) und Sn (T ), für den Fall, dass kein Magnetfeld vorhanden ist.
Verwenden Sie dazu den dritten Hauptsatz.
(b) Es ist aus Experimenten bekannt, dass beim Phasenübergang zum Supraleiter keine latente Wärme
auftritt. Bestimmen Sie mit dieser Information die Übergangstemperatur Tc in Abhängigkeit von
α, β und γ.
1
(c) Sei nun weiterhin bekannt, dass bei T = 0 die supraleitende Phase durch die Cooperpaarung von
Elektronen eine um V ∆ erniedrigte innere Energie hat: Un (T = 0) = U0 und Us (T = 0) = U0 −V ∆.
Berechnen Sie die inneren Energien der beiden Phasen für endliche Temperaturen.
(d) Bei gegebener Temperatur wird die Phase mit der niedrigeren freien Energie realisiert. Berechnen und vergleichen Sie die freien Energien für beide Phasen. Bestimmen Sie darüber Tc in
Abhängigkeit von ∆ und γ.
(e) Ein Supraleiter ist im Inneren magnetfeldfrei. Das wird bei Anwesenheit eines äußeren Magnetfelds
(in entsprechenden Einheiten) erreicht.
B durch eine entgegengesetzte Magnetisierung Ms = − BV
4π
Das Aufbauen dieser Magnetisierung kostet die Arbeit −BdM , um die sich die freie Energie des
Supraleiters erhöht. Im Normalleiter gelte dagegen Mn = 0. Zeigen Sie nun, dass das kritische Feld
Bc (T ), bei dem die supraleitende Phase bei konstanter Temperatur in die normaleitende Phase
übergeht, folgende Form hat
T2
Bc (T ) = B0 1 − 2 .
Tc
Geben Sie dabei einen Ausdruck für B0 an.
2
(3)