P15 Elektrodynamik ohne Widerstand P16 Supraleiter und Meissner

Übungen zur Theoretischen Festkörperphysik: Vertiefung (TV-2)
P17 Thermodynamik des Phasenübergangs in die supraleitende Phase
8. Präsenzübung am 26. Juni 2014
In der Vorlesung wurde mittels der BCS-Theorie die Kondensationsenergie δE (Energiegewinn beim Übergang in die supraleitende Phase) bei T = 0 bestimmt:
P15 Elektrodynamik ohne Widerstand
Ein Supraleiter soll durch folgendes Modell beschrieben werden: ein reibungsfreies, homogenes Elektronengas mit Dichte n = const. und mittlerer Geschwindigkeit der Elektronen
v, so dass ein elektrischer Strom durch j = nev gegeben ist.
a) Leiten Sie mittels der Newton’schen Bewegungsgleichung mv̇ = eE einen Ausdruck
für das elektrische Feld in Abhängigkeit der zeitlichen Änderung der Stromdichte her.
mc2
Fassen Sie die dabei auftretende Konstante zur London-Länge λ2L := 4πne
2 zusammen.
b) Leiten Sie nun mit dem Ergebnis aus der vorherigen Aufgabe und den Maxwellgleichungen
4π
1 ∂E
rot H =
j+
c
c ∂t
1
rot E = − Ḣ
c
P16 Supraleiter und Meissner-Effekt
△H −
Vakuum
z
H0
4π
j.
c
H (z)
Der Supraleiter soll nun eine Hälfte des Raumes ausfüllen. In der anderen Hälfte befinde
sich im Vakuum ein konstantes homogenes äußeres Magnetfeld H0 . Im Supraleiter herrscht
ein Magnetfeld H = H(z) das aufgrund der Symmetrie des Problems nicht von x und
y abhängen kann. Bestimmen und skizzieren Sie die Feldverteilung H = H(z) sowie den
Strom j für die Randbedingung H
= H0 = const. Betrachten Sie getrennt die beiden
Fälle
z<0
a) H(z) k z-Achse (gibt es hier überhaupt eine Lösung H 6= 0?) und
b) H(z) ⊥ z-Achse, z.B. H(z) = (Hx (z), 0, 0).
wobei N die Elektronenzahl in der Probe beschreibt.
Die thermodynamische Beschreibung erfolgt durch die freie Energie F = E − T S , da bei
T = 0 F (T = 0) = E gilt.
Hinweis:
dF = −SdT − pdV
Die Volumenänderung beim Phasenübergang in die supraleitende Phase ist vernachlässigbar
klein. Wärmekapazität CV und Entropie S:
CV (T ) = T
dS
dT
Berechnen Sie die Entropie SN (T ) und die freie Energie FN (T ) .
b) Bei der supraleitenden Phase ist zu berücksichtigen, dass bei T = 0 die Kondensationsenergie δE den Energiegewinn beim Übergang von der normalen Phase in die
supraleitende Phase beschreibt. Außerdem existiert eine kritische Temperatur TC 6= 0,
bei der die freien Energien der beiden Phasen gleich sind und es keine latente Wärme
QL gibt:
FS (TC ) = FN (TC )
QL = T (SN − SS )|TC = 0
Supraleiter
1
H=0
λ2L
wobei div H = 0 und rot H =
ρF ∆2
3 ∆2
≈−
N,
2
8 ǫF
a) Nehmen Sie eine lineare Temperaturabhängigkeit für die Elektronenwärmekapazität
in der normalen Phase an:
CVN (T ) = γT .
eine Gleichung für die Eindringtiefe der zeitlichen Änderung eines äußeren Magnetfelds
Ḣ in den Supraleiter her. Sie können dabei annehmen, dass das elektrische Feld zeitlich
langsam variiert.
Im Supraleiter gilt die in der vorherigen Aufgabe hergeleitete Beziehung für die Eindringtiefe auch für das
Magnetfeld selbst (London-Gleichung):
δE = −
Analysieren Sie die freie Energie FS der supraleitenden Phase und deren Temperaturabhängigkeit bei den Temperaturen T = 0 , T = TC , und skizzieren Sie die
Temperaturabhängigkeit der freien Energie für beide Phasen.
c) Skizzieren Sie außerdem die Temperaturabhängigkeit der Entropie S und der Wärmekapazität CV anhand Ihrer Skizze aus Teilaufgabe b) und vorheriger Ergebnisse.
Berücksichtigen Sie hierzu die Existenz einer Temperatur T1 , bei der die Wärmekapazitäten der beiden Phasen gleich sind:
CVS (T1 ) = CVN (T1 )
Übungen zur Theoretischen Festkörperphysik: Vertiefung (TV-2)
10. Hausaufgabe, Abgabe: 1. Juli 2014, 10 c. t. (Kasten im Hörsaal)
H21 BCS-Wellenfunktion und Einteilchenzustände
Betrachten Sie den BCS-Zustand
|ϕi =
Y
uk′ + vk′ c†k′ ↑ c†−k′ ↓ |0i
k′
mit
q
ξk
1
2 + ∆2
1−
, ǫk = ξk
k
2
ǫk
∆ , |ξk | < 2~ωD
ξk = ~vF (k − kF ) ; ∆k =
0 , |ξk | > 2~ωD
u2k =
1
2
1+
ξk
ǫk
2
=
, vk
Berechnen und skizzieren Sie die Besetzungswahrscheinlichkeit nk↑ und berechnen Sie die
Breite δk , die folgende Bedingung erfüllt:
|ξ(δk)| ≈ ∆ .
Im Bereich δk um kF unterscheidet sich die Besetzungswahrscheinlichkeit nk↑ kaum von
der Fermiverteilung bei T = 0 .
H22 Supraleiter und Bose-Kondensation
Fügt man einem Supraleiter im Grundzustand |ϕi zwei Elektronen mit k ↑ und −k ↓ hinzu,
so erhält man den Zustand
|ϕ̃i = c†k↑ c†−k↓ |ϕi .
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsamplitude Fk = hϕ|c†k↑ c†−k↓ |ϕi , das System im ursprünglichen Zustand |ϕi zu finden und skizzieren Sie deren k-Abhängigkeit.