Blatt 4 Prof. Dr. U. Schollwöck Wintersemester

Theoretische Physik
Thermodynamik und statistische Physik (T4)
Prof. Dr. U. Schollwöck
18. November 2016
Blatt 4
Wintersemester 2016/17
Aufgabe 9: Grenzflächenaktive Substanzen
Grenzflächenaktive Moleküle, wie sie zum Beispiel in Spülmitteln oder Haarwaschmitteln vorkommen,
sammeln sich an der Grenzfläche zwischen Luft und Flüssigkeit, anstatt sich in der Flüssigkeit zu lösen.
Dadurch wird die Grenzflächenspannung reduziert. Dies kann beispielsweise demonstriert werden, indem
man ein Haar auf einer Wasseroberfläche schwimmen lässt und dann ein wenig Spülmittel hinzugibt,
wodurch das Haar im Wasser versinkt.
(a) Die Luft-Wasser Grenzflächenspannung σlw wird in etwa um N kB T /A reduziert, wenn dem Wasser
N grenzflächenaktive Moleküle hinzugefügt werden und A die Grenzfläche ist. Geben Sie hierfür
eine qualitative Erklärung.
(b) Geben Sie einen Wassertropfen auf eine glatte Oberfläche und beochbachten Sie, was passiert, wenn
Sie dem Tropfen eine kleine Menge Spülmittel hinzugeben. Wie ändert sich der Kontaktwinkel?
Erklären Sie das Beobachtete.
(c) Genauere Versuche zeigen, dass bei höheren Konzentrationen von grenzflächenaktiven Molekülen
2
N kB T
2a N
∂T A − Nb
∂σ (1)
=
−
und
=−
2
∂A T
(A − N b)
A A
∂σ A
N kB
mit Konstanten a und b gelten. Bestimmen Sie den Ausdruck für σ(A, T ) und erklären Sie qualitativ den Ursprung der durch a und b beschriebenen Korrekturen.
δQ δQ ∂U
∂U ∂σ −
als
Funktion
von
|
=
,
σ,
und
(d) Finden
Sie
einen
Ausdruck
für
C
−
C
=
T
σ
A
δT
δT
∂A
∂A
∂A
σ
A
σ
T
∂T .
∂σ A
Aufgabe 10: Phasenübergang zum Supraleiter
Viele Metalle gehen bei tiefen Temperaturen (T ) und kleinen Magnetfeldern (B) von der normaleitenden (n) in eine supraleitende (s) Phase über. Im betrachteten Bereich kleiner Temperaturen sind die
Wärmekapazitäten in der jeweiligen Phase durch
(s)
CV (T ) = V αT 3
(n)
CV (T )
(2a)
3
= V (βT + γT ).
(2b)
gegeben. α, β und γ sind Konstanten. Beim Phasenübergang zum Supraleiter ändert sich das Volumen
V kaum, und mechanische Arbeit kann deshalb in der gesamten Aufgabe vernachlässigt werden.
(a) Berechnen Sie die Entropien Ss (T ) und Sn (T ), für den Fall, dass kein Magnetfeld vorhanden ist.
Verwenden Sie dazu den dritten Hauptsatz.
(b) Es ist aus Experimenten bekannt, dass beim Phasenübergang zum Supraleiter keine latente Wärme
auftritt. Bestimmen Sie mit dieser Information die Übergangstemperatur Tc in Abhängigkeit von
α, β und γ.
1
(c) Sei nun weiterhin bekannt, dass bei T = 0 die supraleitende Phase durch die Cooperpaarung von
Elektronen eine um V ∆ erniedrigte innere Energie hat: Un (T = 0) = U0 und Us (T = 0) = U0 −V ∆.
Berechnen Sie die inneren Energien der beiden Phasen für endliche Temperaturen.
(d) Bei gegebener Temperatur wird die Phase mit der niedrigeren freien Energie realisiert. Berechnen und vergleichen Sie die freien Energien für beide Phasen. Bestimmen Sie darüber Tc in
Abhängigkeit von ∆ und γ.
(e) Ein Supraleiter ist im Inneren magnetfeldfrei. Das wird bei Anwesenheit eines äußeren Magnetfelds
(in entsprechenden Einheiten) erreicht.
B durch eine entgegengesetzte Magnetisierung Ms = − BV
4π
Das Aufbauen dieser Magnetisierung kostet die Arbeit −BdM , um die sich die freie Energie des
Supraleiters erhöht. Im Normalleiter gelte dagegen Mn = 0. Zeigen Sie nun, dass das kritische Feld
Bc (T ), bei dem die supraleitende Phase bei konstanter Temperatur in die normaleitende Phase
übergeht, folgende Form hat
T2
Bc (T ) = B0 1 − 2 .
Tc
Geben Sie dabei einen Ausdruck für B0 an.
2
(3)