Übung 13

Festkörperphysik I
Prof. Klaus Ensslin
HS 2016
Verteilung: 14. Dezember 2016
Nachbesprechung: 21./22. Dezember 2016
13. Übungsblatt: Magnetismus, Supraleitung
Aufgabe 1: Dia- und Paramagnetismus von atomaren Wasserstoff
(
)−1/2
a) Die Wellenfunktion von Wasserstoff im 1s-Grundzustand lautet ψ = πa30
exp(−r/a0 ) mit dem
2
2
Bohrschen Radius a0 = 4πϵ
~
/me
=
0.53
Å.
Die
Ladungsdichte
ist
dann
ρ(x,
y,
z)
= −e|ψ|2 . Zeigen Sie,
0
⟨ 2⟩
2
dass in diesem Zustand r = 3a0 gilt, und berechnen Sie damit die diamagnetische Suszeptibilität und
die Magnetisierung M bei B = 2.5 T von atomaren Wasserstoff. Benutzen Sie die Langevin-Gleichung;
die Teilchendichte beträgt n = 6 × 1023 /22.4 l = 2.7 × 1025 m−3 .
b) Berechnen Sie für atomaren Wasserstoff mit n = 2.7×1025 m−3 die totale Magnetisierung M bei Raumtemperatur (T = 300 K) und bei der Temparatur von flüssigem Helium (T = 4 K) in einem externen Magnetfeld B = 2.5 T. Die Drehimpulse der Wasserstoffatome genügen folgenden Quantenzahlen: L = 0, S = 1/2.
Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem aus Aufgabenteil a).
Hinweis: Betrachten Sie jedes Atom als isoliertes System mit zwei Quantenzuständen (Spin parallel und
antiparallel zum externen Feld). Benutzen Sie die Boltzmann-Statisik p(E) ∝ exp(−E/kB T ) für die
Besetzung der Zustände. Vergessen Sie nicht die Normierung der Verteilung.
Aufgabe 2: Dia-, Para- und Ferromagnetismus verschiedener Materialien
Welche der folgenden Elemente sind diamagnetisch, paramagnetisch oder ferromagnetisch? Warum? Diskutieren Sie ebenfalls die Temperaturabhängigkeit.
Gold, Kupfer, Silber, Eisen, Natrium, Neon, Erbium, Lithium, Nickel, Cobalt, Aluminium, Gadolinium, Dysprosium.
Aufgabe 3: Meißner-Ochsenfeld-Effekt, London-Gleichung
Bringt man einen (genügend dicken) Supraleiter oberhalb seiner Sprungtemperatur in ein äusseres Magnetfeld
und kühlt ihn dann unter seine Sprungtemperatur ab, so wird der magnetische Fluss abrupt aus dem Inneren
der Probe verdrängt. Dies ist der sogenannte Meißner-Ochsenfeld-Effekt, der nicht durch das Modell eines
idealen Leiters erklärt werden kann.
a) Zeigen Sie, dass die magnetische Suszeptibilität im supraleitenden Zustand χ = −1 beträgt.
b) Wir wollen nun versuchen, den Meißner-Ochsenfeld-Effekt im Bild eines idealen Leiters zu erklären. Dazu
“schalten” wir im Supraleiter ein elektrisches Feld ein; die Kraft, die auf die Ladungsträger mit Dichte ns
wirkt, ist dann
dvs
m
= −eE
dt
mit der mittleren Geschwindigkeit vs der Ladungsträger. Diese drücke man nun durch die Stromdichte
j = −evs ns aus. Mit Hilfe des Faradayschen Induktionsgesetzes bekommt man einen Ausdruck der Form
∂
(f (j) + g(B)) = 0
∂t
mit zwei Funktionen f und g die von j bzw. B abhängen. Zusammen mit der (statischen) MaxwellGleichung ∇ × B = µ0 j bestimmt er die Magnetfelder und Stromdichten innerhalb eines idealen Leiters.
Zeigen Sie, welche Lösungen für B diese Gleichung zulässt und begründen Sie, warum nur eine die experimentellen Beobachtungen in einem Supraleiter physikalisch sinnvoll beschreibt.
c) Die Brüder Fritz und Heinz London erkannten, dass der Meißner-Ochsenfeld-Effekt theoretisch erklärt
werden kann, wenn man die möglichen Lösungen durch die restriktivere Bedingung f (j) + g(B) = 0 mit
den Funktionen f und g aus Aufgabenteil b) einschränkt. Dies ist die sog. London-Gleichung, die das
Magnetfeld mit der Stromdichte im Supraleiter verknüpft. Entkoppeln Sie das Differentialgleichungssystem aus London-Gleichung und obiger Maxwell-Gleichung, und lösen Sie die Differentialgleichung für B
für den Fall eines halbunendlichen Supraleiters, der den halben Raum x > 0 ausfüllt. Definieren Sie
eine charakteristischen Eindringtiefe λL (die sog. Londonsche Eindringtiefe) des Magnetfeldes in den
Supraleiter. Warum kann der Meißner-Ochsenfeld-Effekt mit der London-Gleichung erklärt werden?
Aufgabe 4: Flussquantisierung
Im Folgenden betrachten wir einen supraleitenden Ring in einem äusseren Magnetfeld B = ∇ × A. Der Impuls
der Ladungsträger mit Ladung q beträgt dann p = mv + qA. Die Geschwindigkeit kann wieder durch die
Stromdichte gemäss j = nqv ersetzt werden.
H
a) Wir wenden nun die Bohr-Sommerfeldsche Quantisierungsbedingung an, p ds = lh, und integrieren den
Impuls entlang eines geschlossenen
Pfades im Inneren des Rings. Welche Bedingung ergibt sich für den
∫
magnetischen Fluss Φ = B dσ mit der (orientierten) Fläche σ des Rings.
Hinweis: Der Integrationspfad befindet sich weit im Inneren der Probe. Was bedeutet das für die
Stromdichte gemäss der London-Gleichung?
b) Durch Messung des Flusses Φ kann man auf die Ladung q der Ladungsträger schliessen. Man findet
q = −2e. Interpretieren Sie diesen Befund.