¨Ubung 4 zur Theoretischen Mechanik LAK, WS
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Übung 4 zur Theoretischen Mechanik LAK, WS-12/13 Christof Gattringer Aufgabe 4.1 Ein Fallschirmspringer mit Masse m befindet sich zur Zeit t = 0 im Punkt z = 0 (die z-Achse läuft nach unten), und beginnt aus der Ruhelage zu ~ r = −β~v die fallen. Auf den Fallschirmspringer wirkt eine Reibungskraft K proportional seiner Geschwindigkeit ist. 1. Stellen Sie die Bewegungsgleichung für den Fallschirmspringer auf. 2. Was ist die Grenzgeschwindigkeit vgrenz die der Fallschirmspringer erreichen kann? (Die Beschleunigung verschwindet wenn die Grenzgeschwindigkeit erreicht ist.) 3. Lösen Sie die Bewegungsgleichung. Schreiben Sie dazu die Beschleunigung als erste Zeitableitung der Geschwindigkeit. Die resultierende Differentialgleichung erster Ordnung für v kann dann durch Separation der Variablen gelöst werden (dt auf eine Seite bringen, den Rest der Terme und dv auf die andere Seite bringen und auf beiden Seiten integrieren). Damit erhalten Sie unter Verwendung der Startbedingung die Geschwindigkeit v(t). Die Funktion v(t) kann nun über die Zeit t integriert werden um die zurückgelegte Strecke z(t) zu erhalten. 4. Prüfen Sie anhand ihres Resultats für v(t) ob für t → ∞ die Grenzgeschwindigkeit vgrenz erreicht wird die Sie in Punkt 2 bestimmt haben. Aufgabe 4.2 Gegeben ist ein abgeschlossenes System von N geladenen Teilchen, mit Massen mi , Ladungen qi und Positionsvektoren ~ri , wobei i = 1, 2 ... N . Je zwei Teilchen wechselwirken untereinander sowohl mit dem Gravitationspotential, als auch mit dem elektrostatischen Potential. 1. Stellen Sie die N Newtonschen Bewegungsgleichungen für die N Teilchen auf. 2. Schreiben Sie den Ausdruck für die Gesamtenergie des Systems an. 3. Wie bewegt sich der Schwerpunkt des Systems? Aufgabe 4.3 Wir betrachten eine Art Hochschaubahn in der x-z Ebene, deren Bahnkurve für x ≥ 0 durch z(x) = c x2 gegeben ist, wobei c eine reelle positive Konstante ist. Für x < 0 sei z(x) = 0. Von links (x < 0) nähert sich nun reibungsfrei ein Massepunkt der Masse m mit der Geschwindigkeit v0 . Bis zu welchem Wert xmax dringt der Massenpunkt vor, bis er seine Richtung umkehrt und wieder zurückrutscht? Geben Sie xmax als Funktion von v0 , m, c und der Erdbeschleunigung g an. 1
