Mathematik C

Prof. Dr. M. Stiemer
Fakultät für Elektrotechnik
1. Übungsblatt zur Vorlesung
Mathematik C
Winter-Trimester 2014
Abgabetermin: Dienstag, 07.10.2012, 14:00 Uhr
Aufgabe 1
Wir betrachten den reellen Vektorraum P3 aller Polynomfunktionen p : R −→ R vom
d
Grad kleiner oder gleich 3, und es bezeichne dx
: P3 −→ P3 die Differentiation. Weiter sei
E := (p1 , p2 , p3 , p4 ) das System der Polynome pk (x) := xk−1 für k ∈ {1, ..., 4} und x ∈ R.
(a) Zeigen Sie, dass E eine Basis des P3 ist.
(b) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix A der linearen Abbildung
E im Start- und Zielraum.
d
dx
bzgl. der Basis
e der linearen Abbildung d bezüglich der
(c) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix A
dx
Basis B := (q1 , q2 , q3 , q4 ) von P3 mit q1 (x) := x3 , q2 (x) := 3x2 , q3 (x) := 6x und
q4 (x) := 6 für x ∈ R im Start- und Zielraum.
10 Punkte
Aufgabe 2
Zeigen Sie, dass die Menge Cm×n aller m × n-Matrizen über den komplexen Zahlen C mit
komponentenweiser Addition und skalarer Multiplikation einen C-Vektorraum bildet.
10 Punkte
bitte wenden
Aufgabe 3
Für welche a ∈ R hat das System
(a + 1) x1 +(−a2 + 6 a − 9) x2 +(a − 2) x3 = 1
(a2 − 2 a − 3) x1 +(a2 − 6 a + 9) x2
+3 x3 = a − 3
(a + 1) x1 +(−a2 + 6 a − 9) x2 +(a + 1) x3 = 1
keine, genau eine bzw. mehr als eine Lösung? Begründen Sie Ihre Antwort.
Berechnen Sie für a = 0 und a = 2 alle Lösungen des Systems.
8 Punkte
Aufgabe 4
Welche der folgenden Teilmengen des R-Vektorraums V := {f : R −→ R Funktion} sind
Untervektorräume? Begründen Sie Ihre Aussagen.
(a) U1 := {f : R −→ R : f (1) = 0}
(b) U2 := {f : R −→ R : f (0) = 1}
(c) U3 := {f : R −→ R : f hat höchstens endlich viele Nullstellen}
(d) U4 := {f : R −→ R : für höchstens endlich viele x ∈ R ist f (x) 6= 0}
(e) U5 := {f : R −→ R : f ist monoton}
(f ) U6 := {f : R −→ R : f ist monoton wachsend}
(g) U7 := {f : R −→ R : f ist streng monoton wachsend}
(h) U8 := {f : R −→ R : die Abbildung g : R −→ R mit g(x) = f (x) − f (x − 1) liegt
in U }, wobei U ⊆ V ein vorgegebener Untervektorraum ist.
8 Punkte