Analysis I - TU Ilmenau

Technische Universität Ilmenau
Institut für Mathematik
Prof. C. Trunk und H. Gernandt
Wintersemester 2013/14
Analysis I
9. Übungsserie zur Abgabe am 9.12.2013
Thema: Konvergenzkriterien für Reihen
Hausaufgabe 26
Es sei (an )n≥1 eine Folge reeller Zahlen mit |an | ≤ M , M > 0, für alle n ∈ N, n ≥ 1. Zeigen Sie:
(a) Für jedes x ∈ R mit |x| < 1 konvergiert die Reihe
f (x) :=
∞
∑
an xn .
n=1
(b) Ist a1 ̸= 0 so gilt
f (x) ̸= 0
für alle x ∈ R mit 0 < |x| <
|a1 |
.
2M
Hausaufgabe 27 (Wurzelkriterium)
∞
∑
Für die Reihe
an gebe es ein q ∈ R mit 0 < q < 1 und ein n0 ≥ 0, so dass
n=0
√
n
|an | ≤ q
für alle n ≥ n0 .
(a) Zeigen Sie, dass die Reihe absolut konvergiert.
(b) Zeigen Sie, dass die Bedingung
√
n
|an | < 1 für alle n ≥ n0
nicht hinreichend für die absolute Konvergenz der Reihe
∞
∑
an ist. Ist dies eine notwendige
n=0
Bedingung?
Hausaufgabe 28
Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz.
∞
∑
1
√ ,
n n
n=1
∞
∑
n!
,
nn
n=1
∞
∑
3n n!
n=1
nn
,
∞
∑
n
)n .
(√
3
n+1
n=0
Hinweis: Man verwende lim (1 + n1 )n = e mit der eulerschen Zahl e und Tutoriumsaufgabe 25.
n→∞
1
Hausaufgabe 29
∞
∑
Es sei
an eine konvergente, aber nicht absolut konvergente Reihe mit an ∈ R, n ∈ N, und
n=0
für a ∈ R seien a+ := max{a, 0} und a− := min{a, 0}. Zeigen Sie:
(a)
∞
∑
n=0
(b)
∞
∑
n=0
a+
n divergiert bestimmt gegen +∞.
a−
n divergiert bestimmt gegen −∞.
—————————————————————————————————————————–
Tutoriumsaufgabe 24 ∑
2+(−1)n
Man untersuche die Reihe ∞
auf Konvergenz. Dazu verwende man zuerst das Quon=1 2n−1
tientenkriterium und anschließend das Wurzelkriterium aus Hausaufgabe 27.
Tutoriumsaufgabe 25
∑
Man beweise die folgenden Divergenzkriterien für die Reihe ∞
n=0 an :
(a) Angenommen es existiert ein n0 ∈ N mit an ̸= 0 für alle n ≥ n0 und
an+1 an ≥ 1
für alle n ≥ n0 , so ist die Reihe divergent.
√
(b) Gilt n an ≥ 1 für unendlich viele Indizes n ∈ N, so divergiert die Reihe.
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