Übung 3

FAKULTÄT FÜR MATHEMATIK,
CAMPUS ESSEN
Prof. Dr. Patrizio Neff
30.04.2012
3. Übung zur Vorlesung Analysis II im SS 12
Präsenzaufgabe 1:
Untersuchen Sie die folgenden Funktionsfolgen auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz.
(a) fn (x) = x
n
x
n+1
auf [0, 1],
(b) fk (x) =
k
X
n=1
x
(c) fn (x) = q
x2 +
Präsenzaufgabe 2:
Für ↵ 2 R, n 2 N und x
1
n
x
enx2
·n
auf ( 1, 1),
auf (0, 1).
0 definieren wir
fn (x) := n↵ · x · exp( nx).
Bekanntlich gilt punktweise
lim fn (x) = 0 =: f (x).
n!1
Für welche ↵ ist die Konvergenz gleichmäßig auf [0, 1) bzw. gleichmäßig auf [R, 1) für R > 0?
Präsenzaufgabe 3:
Untersuchen Sie die Funktionenreihe
✓
◆

1
X
n2
1
1
n
p
x + n , für x 2 , 2
x
2
n!
n=0
auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz. Falls die Reihe konvergiert: Ist die dadurch gegebene
Funktion stetig? Ist sie differenzierbar? Geben Sie gegebenenfalls die Ableitung an.
Bitte wenden!
Hausübungen
Hausaufgabe 1 (6+6+8 Punkte):
Untersuchen Sie die folgenden Funktionsfolgen auf punktweise und gleichm%�flige Konvergenz.
(a) fn (x) = xn
x2n auf [0, 1],
(c) fn (x) =
(b) fn (x) =
n2
n
auf [0, 1),
+ x2
xn 1
auf [0, 2]
xn + 1
Hausaufgabe 2 (6 Punkte):
1
Seien x1 , x2 , . . . , xn
und a reelle Zahlen mit x1 + x2 + x3 + . . . + xn =a. Zeigen Sie:
4
n ⇣
X
p
xi +
i=1
x2i
⌘
p
an +
a2
.
n
Hausaufgabe 3 (8+8 Punkte):
Für n 2 N und x > 1 definieren wir
1
fn (x) := (1 + xn ) n
und
f (x) := max{1, x}.
Zeigen Sie:
(a) Für beliebiges
> 0 konvergiert (fn )n2N gleichmäßig gegen f bezüglich x 2 [0, ].
(b) Für x 2 [0, 1) existiert punktweise der Grenzwert
g(x) := lim fn0 (x).
n!1
Für welche Intervalle I = [↵, ] ⇢ [0, 1) ist die Konvergenz gleichmäßig? Was können Sie
über die Grenzfunktion f auf diesen Intervallen aussagen?
Hausaufgabe 4 (4+6+4 Punkte):
Untersuchen Sie für x 2 R die folgenden Funktionenreihen auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz:
1
1
1
X
X
X
sin(nx)
n
k
(a)
x (1 x),
(b)
x ,
(c)
.
2n
n=1
n=1
k=0
Abgabe: Bis Donnerstag 10.05.2012, 12 Uhr, im Übungskasten neben T03 R03 D22. Bitte benutzen
Sie für alle Hausaufgaben ausschließlich weißes Blankopapier, einseitig in blau oder schwarz beschriftet, durchgehend nummeriert und links oben getackert. Bitte verwenden Sie keine Hefter, Ordner
oder Klarsichthüllen. Achten Sie auf Ihre Handschrift und Leserlichkeit. Pro Hausübung gibt es 3
Zusatzpunkte für Ordnung, Handschrift und Leserlichkeit.