Theoretische Physik III (Thermodynamik und Statistik) für LA

PD Dr. Michael Seidl
10.5.2012
Theoretische Physik III (Thermodynamik und Statistik) für LA
Übungsblatt 4
Aufgabe 1: Helmholtzsche Freie Energie
Nach dem II. Hauptsatz ist dS = T1 dQ für beliebige Systeme immer ein vollständiges Differential. (Speziell für das ideale Gas wurde dies bereits in der Vorlesung nachgewiesen.)
Die resultierende Zustandsfunktion S(p, V ) heißt Entropie. Statt p und V kann man auch
S und V als unabhängige Variable wählen. Nach dem I. Hauptsatz dU = dQ − pdV hat
dann die Zustandsfunktion U = U(S, V ) offenbar das Differential
dU = T dS − pdV
≡ T (S, V ) dS − p(S, V ) dV.
(a) Zeigen Sie: Die Helmholtzsche Freie Energie F := U − T S = F (T, V ) hat bezüglich
T und V als unabhängige Variable das Differential
dF = −SdT − pdV
≡ −S(T, V ) dT − p(T, V ) dV.
(b) Leiten Sie daraus folgende Relation her,
∂S ∂p =
.
∂V T
∂T V
(1)
(c) Verifizieren Sie diese für den Fall des idealen Gases (Abschnitt 3.3.4 der Vorlesung).
(d) Gl. (1) ist eine sog. Maxwell-Relation. Welche Maxwell-Relation resultiert aus der
Enthalpie H := U + pV (statt der Freien Energie F ) ?
Welches sind jetzt (statt T und V ) die “natürlichen Variablen” ?
Aufgabe 2: Photonengas
(49 % einer Staatsexamensaufgabe vom Frühjahr 2006)
In dieser Aufgabe sollen einige Aspekte der Thermodynamik eines Photonengases untersucht und mit den Eigenschaften eines klassischen idealen Gases verglichen werden.
1. Geben Sie den ersten Hauptsatz an, und leiten Sie daraus die Beziehung
∂U
∂p
=
+p
T
∂T V
∂V T
her.
Hinweis: Ein möglicher Lösungsweg besteht darin, das totale Differential dS der
Entropie durch die totalen Differentiale dT und dV der Temperatur bzw. des Volumens auszudrücken.
2. Für den Zusammenhang zwischen dem Druck p eines Photonengases und seiner
inneren Energiedichte u(T ) = U/V gilt p = u/3. Zeigen Sie, dass die innere Energiedichte durch u = σT 4 gegeben ist. σ ist hier die Stefan-Boltzmann-Konstante.
3. Berechnen Sie die Entropie des Photonengases. Zeigen Sie, dass für das Photonengas
adiabatische Prozesse durch T V γ−1 = const. charakterisiert sind. Welchen Wert
erhalten Sie für den Exponenten γ?
1
Aufgabe 3: Zusatzfrage zu Aufgabe 2
Gibt es ein klassisches ideales Gas mit dem Adiabatenexponenten γ des Photonengases
aus Aufgabe 2 ? Vergleichen Sie ggf. die kalorischen Zustandsgleichungen beider Gase.
Aufgabe 4: Wärmekapazitäten (Hausaufgabe)
(a) Stellen Sie das Wärmedifferential dQ = dU + pdV eines pV -Systems bezüglich der
unabhängigen Variablen (T, p) bzw. (T, V ) auf (drücken Sie die Koeffizienten jeweils
durch die entsprechenden partiellen Ableitungen von U und V aus).
(b) Gewinnen Sie daraus Ausdrücke für die Wärmekapazitäten CV bzw. Cp .
(c) Setzen Sie in einen der beiden in Teil (a) erhaltenen Ausdrücke das Differential der
Zustandsfunktion V = V (T, p) ein, und leiten Sie daraus folgende Beziehung her,
Cp − CV =
h ∂U ∂V
T
+p
i ∂V ∂T
p
.
Aufgabe 5: Zusatzfrage zu Aufgabe 1 (Hausaufgabe)
Geben Sie die Funktion U(S, V ) im Fall des idealen Gases explizit an, und verifizieren
Sie, daß (entsprechend dU = T dS − pdV ) gilt
∂U ∂S
V
= T,
∂U ∂V
2
S
= −p.