Gliederung der Vorlesung Lerninhalte der 6. Vorlesung ( )ε 2.3.1

Gliederung der Vorlesung
1. Einführung
1.1 Physikalische Einheiten
1.2 Meteorologische Elemente
1.3 Der Feldbegriff in der Meteorologie
1.4 Vektoren-Operationen und Ableitungen
1.5 Die meteorologischen Grundgleichungen
1.6 Skalenbetrachtungsweise
2. Meteorologische Elemente
2.1 Luftdruck und Luftdichte
2.2 Windgeschwindigkeit
2.3 Temperatur
Lerninhalte der 6. Vorlesung
6. Vorlesung
2.3.1 Definition der Temperatur (Hauptsätze der Thermodynamik)
2.3.2 Adiabatische Zustandsänderungen
2.3.3 Haushalt und Flussdichten "fühlbarer Wärme"
2.3.4 Temperaturmessung
2.3.5 Globale Temperaturverteilung
Änderung von Größen mit den Feldkoordinaten
stationär, konservativ, advektionsfrei
ƒ
Turbulenz und Reynoldsmittelung
ρ = ρ + ρ' ≅ ρ
Boussinesq-Approximation:
Transporte durch mittlere und turbulente Strömung
ƒ
Einführung des Temperaturbegriffs (Makro-/Mikro-Sichtweise)
ƒ
Definition der Temperatur (Zustandsgröße) und des
thermodynamischen Gleichgewichts
ƒ
Thermodynamische Systeme: offen, geschlossen und abgeschlossen
ƒ
Mathematische Definition einer Zustandsgröße
∫ dT ≡ 0
2.4 Feuchte
2.5 Strahlung
3. Thermodynamik der Atmosphäre
3.1 Adiabatische Prozesse mit Kondensation
3.2 Temperaturschichtung und Stabilität
3.3 Beispiele (Rauchfahnenformen, Wolkenentstehung, Grenzschicht,..)
3.4 Thermodynamische Diagrammpapiere
3.5 Phänomene (Wolken, Nebel,Niederschlag,..)
15. November 2004
I.
r
r
dT ≡ ∇T ⋅ ds
∂ ∂T
∂ ∂T
=
∂x ∂y ∂y ∂x
ƒ
isobare, isochore, isotherme und adiabatische Zustandsänderungen im pV
Diagramm
ƒ
Ausdehnungsarbeit eines Gases A=pdV
1
2.3.1 Definition der Temperatur
und ihrer Maßskalen
( )
dε ∂ε r r
=
+ v ⋅∇ ε
dt ∂t
ƒ
15. November 2004
I.)
2
0. HS der Thermodynamik
Temperatur ist eine Zustandsgröße.
+
Im thermischen Gleichgewicht haben alle Körper die gleiche
Temperatur.
als Zustandsgröße (0. HS)
II. über die Ausdehnung von Stoffen (Gasgleichung)
III. durch kinetische Gastheorie (Bewegung der Partikel)
Damit kann die Temperaturmessung erfolgen, in dem man einen
Probekörper, dessen Temperatur man irgendwie messen kann,
in den zu messenden Körper, z.B. die Luft, einbringen und so
lange wartet, bis sich die Temperatur nicht mehr ändert.
IV. über die Entropie (2. HS)
V. mit empirische Temperaturskalen (Celsius,
Kelvin, Fahrenheit etc.)
TP
TK
15. November 2004
3
15. November 2004
4
1
Ausdehnung von Stoffen
II.)
Barometerkorrektur
siehe 2.1.5
ρ
1
V
=
= 0
ρ 0 1 + cϑ V
pV = nR *T
Besonderheit ideales Gas (Luft)
Änderung vom Ursprungszustand (p0,V0,T0)
zum aktueller Zustand (p,V,T)
Isobarer Prozess (p=const)
1
T 273.15 + ϑ
=
= 1+
ϑ
273.15
T0
273.15
c = 1/273.15 für Luft!
15. November 2004
5
Gaskinetische Deutung der
Temperatur
III.)
Ekin =
m 2
v
2
V 
T = T0  
 V0 
 p
T = T0  
 p0 
→ Rechten Schenkel
senken bis beide Spiegel
auf gleicher Ebene. Dann T0 → T0+∆T
ist Innendruck gleich
dem äußerem Luftdruck.
Dann kann die
Volumenänderung (V)
bestimmt werden und
damit T.
T=T0
→ Rechten Schenkel
heben bis linker Spiegel
auf ursprünglicher
Ebene. Dann ist V=V0.
Dann kann die
Druckänderung (p) über
die Höhe der Säule
bestimmt werden und
damit T.
15. November 2004
6
2. HS der Thermodynamik
Bei reversiblen Kreisprozessen ist die Entropie
eine Zustandsgröße mit der Definition
1
Ekin ( f ) = k BT
2
dS =
δQ
T
bzw. ds =
δq
T
Carnot-Kreisprozess
Kombination von isothermen und adiabatischen Bewegungen
δq1 δq2
∫ ds = T
1
ƒ Temperatur ist proportional zur mittl. kinetischen
Energie der Translation der Moleküle
ƒ Absoluter Nullpunkt: T=0 und v=0
15. November 2004
2) Isochorer Prozess
V = V0 = const
Die Entropie S stellt ein Kriterium für die Freiwilligkeit von Vorgängen dar,
ein freiwillig ablaufender Prozess vergrößert seine Entropie stets
Streben nach maximaler Unordnung
Die Anzahl der Freiheitsgrade hängt von der Molekülstruktur ab;
es gibt 3 Freiheitsgrade der Translation, d.h. pro Raumrichtung eine!
Weitere Freiheitsgrade für Vibrations- und Rotationsbewegungen, diese
werden je nach Temperatur aktiviert
m 2 3
v = k BT
2
2
1) Isobarer Prozess
p = p0 = const
IV.)
Mittlere kinetische Energie der Moleküle
Bei der Temperatur T entfällt auf jeden
Freiheitsgrad f der Moleküle eines Körpers
im zeitlichen und räumlichen Mittel die Energie
Ekin ,trans =
nR* T
V
T p0
p
=
=
V0 nR* T0
T0 p
p0
Betrachte 2 Zustände eines Gases
bei konstanter Teilchenzahl n:
thermischer Ausdehnungskoeffizient c ist stoffabhängig
als Definition ungeeignet
nR * T
V
T p0
p
=
=
V0 nR* T0
T0 p
p0
Prinzip des Gasthermometers
II.)
7
−
T2
∆q1 T1
=
∆q2 T2
0
Stoff-unabhängige Messung der Temperatur
durch Bestimmung der Wärmeflüsse
s=S/m spezifische Entropie [J/kg]
q=Q/m spezifische dem System zu- bzw.
abgeführte Wärmemenge [J/kg]
15. November 2004
8
2
Empirische Temperaturskalen
V.)
Hauptsätze der Thermodynamik
ƒ Celsius-Skala
1742 von Anders Celsius (Schweden)
Definition über den Frostpunkt (0°C) und den Siedepunkt (100°C)
von Wasser bei 1013.2 hPa
lineare Einteilung
ƒ 0-ter Hauptsatz
Definition der Temperatur
ƒ 1-ter Hauptsatz
Definition der inneren Energie,
Wärmeenergieerhaltung, Wärmekraftmaschinen
Absoluter Nullpunkt 0°C = -273.15 K führt zur Definition des Kelvin
ƒ Fahrenheit-Skala
1709 durch deutschen Physiker und Glasbläser Daniel Fahrenheit, der
das erste Quecksilberthermometer entwickelte
Definition über die damals niedrigste gemessene Temperatur 0 F=-17,78°C
und die Körpertemperatur des Menschen 100 F = 37°C
[°F] = 9 5 [°C ] + 32
,
Jedes thermodynamische System besitzt eine für dasselbe charakteristische
Zustandsgröße, die innere Energie u. Sie wächst entsprechend der dem
System zugeführten Wärme δq, nimmt ab um die vom System nach außen
geleistete Arbeit δa und ändert sich auch durch chemische Umwandlungen.
Für ein abgeschlossenes System gilt der Satz von der Erhaltung der Energie.
[°C] = 5 9 ([°F ] − 32)
ƒ 2-ter Hauptsatz
Definition der Entropie
ƒ Réaumur-Skala
französischer Physiker (1683-1757)
0°C = 0 R und 100°C = 80 R
15. November 2004
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1-ter Hauptsatz der Thermodynamik
- allgemeine Formulierung -
du = δq − δa + ∑ µi dni
u ist eine Zustandsgröße,
q und a nicht!
δq statt dq
i
u
q
a
∑µidni
spezifische innere Energie [J/kg]
dem System zu- bzw. ab geführte Wärmemenge [J/kg]
vom System bzw. am System geleistete Arbeit
chemische Umwandlungen zwischen Stoffen
Ideales Gas
du (T ) = δq − pdα
du (T ) = δq − δ a
ƒ
Eine Zustandsänderung eines
thermodynamischen Systems wird als adiabatisch bezeichnet, wenn
keine Wärmezu- oder –abfuhr erfolgt, also δQ=0 oder δq=0 .
ƒ
Erfolgt die Zustandsänderung ohne diese Einschränkung, so spricht
man von diabatischen Zustandsänderungen. Wärme wird z.B. durch
Strahlung, Diffusion, Wärmeleitung übertragen werden.
ƒ
Die spezifische Wärmekapazität c ist die Wärmemenge, die
notwendig ist, um 1 kg eines Stoffes um 1 K zu erwärmen (Phasenübergänge sind hierbei ausgeschlossen sein).
15. November 2004
11
c=
δq
δT
Für Wasser beträgt die spezifische Wärmekapazität c bei 0°C:
4218 J K-1 kg-1 (entsprechend 1 Kcal). Bei Gasen muss der Weg, der
zur Temperaturerhöhung genutzt wurde, berücksichtigt werden
cv ≡
δA
10
1-ter Hauptsatz der Thermodynamik
- Bezeichnungen -
ƒ
du (T ) = δq − {
pdα oder dU (T ) = δQ − {
pdV
δa
15. November 2004
δq
δT
cp ≡
α
δq
δT
p
15. November 2004
12
3
Beispiel Carnot-Kreislauf (1→2)
Historisches zum 1. Hauptsatz der
dU (T ) = δQ − pdV
Joule zeigte (zwischen 1840 und
1845) experimentell, daß die durch
mechanische Arbeit δW
entstandene Wärmemenge δQ
proportional ist.
dU (T ) ≡ 0
Isothermen (T=const)
p
Während der Flitterwochen in der
Schweiz versuchte er, die
Temperaturänderung des Wassers
vor und nach einem Wasserfall zu
bestimmen. Kinetische Energie
des Wasserfalls geht in turbulente
Bewegung und später Wärme
über.
V
13
>0
dU<0 Temperaturabnahme
3
k
V
Adiabaten
(kein Wärmeübergänge δq=0)
2
Bei einem Gas mit f Freiheitsgraden
besitzen die n Mole des betrachteten
Systems die Energie ½ f n RT
dU = 1 2 nRf dT
TkV3
2
pdV = nRT (dV / V )
f
= TwV2
2
Isothermen (T=const)
p
1
12
1
= nRTw ∫
1
2
dV
= nRTw ∫ d ln V
V
1
= nRTw (ln V2 − ln V1 ) = nRTw ln
V2
V1
14
15
3→4 isotherme Kompression (kalt)
U hängt nur von T ab
δQ = {
pdV
δQ<0 (Wärmeabgabe)
<0
w
4
3
k
V
Adiabaten
(kein Wärmeübergänge δq=0)
f
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nRTw
dV
V
2
∫ δQ = ∆Q
dU (T ) ≡ 0
2
w
4
PV = nRT
15. November 2004
dU (T ) = δQ − pdV
Arbeitsleistung pdV auf Kosten
der inneren Energie U
2
δQ = pdV ={
Sadi Carnot (1776-1832)
abgeschlossenes System
dU (T ) = − {
pdV
δQ>0 (Wärmezufuhr)
Beispiel Carnot-Kreislauf (3→4)
2→3 adiabatische Expansion (großes V)
δQ ≡ 0
Isothermen (T=const)
δQ = {
pdV
Adiabaten
(kein Wärmeübergänge δq=0)
Beispiel Carnot-Kreislauf (2→3)
1
w
3
k
15. November 2004
U hängt nur von T ab
>0
4
dU = δQ + δW
p
1
2
Joule zeigte, daß für ein
thermisches isoliertes System gilt:,
dU (T ) = δQ − pdV
1→2 isotherme Expansion (warm)
δQ = pdV ={
PV = nRT
4
∫ δQ = ∆Q
34
3
nRTk
dV
V
4
= nRTk ∫
3
4
dV
= nRTk ∫ d ln V
V
3
V
= nRTk ln 4
V3
15. November 2004
16
4
Beispiel Carnot-Kreislauf (4→1)
dU (T ) = δQ − pdV
4→1 adiabatische Kompression (V klein)
δQ ≡ 0
Isothermen (T=const)
p
1
Carnot-Kreislauf: Folgerungen I
dU (T ) = δQ − pdV
abgeschlossenes System
dU (T ) = − {
pdV
dU>0 Temperaturzunahme
<0
Isothermen (T=const)
p
3
k
TkV4
2
f
= TwV1
V2 V3
=
V1 V4
V
Adiabaten
(kein Wärmeübergänge δq=0)
2
3
k
zusammen mit
2→3 folgt
p
2
3
k
V
Adiabaten
(kein Wärmeübergänge δq=0)
= 1−
nRTw ln
= 1−
Tk
<1
Tw
V2
V3
dU (T ) = δQ − pdV
∫ δQ = ∆Q
12
∫
Isothermen (T=const)
p
1
2
w
umso größer je größer
die Temperaturdifferenz
19
T
=
∆Q12 ∆Q34
+
≡0
Tw
Tk
aber
Anmerkung: Carnot-Kreislauf ist
eine Idealisierung (Annahme:
thermisches Gleichgewicht)
3
k
V4
δQ
+ ∆Q34 ≠ 0
Definition der Entropie S S = δQ
T
S ist eine Zustandsgröße
4
V1
15. November 2004
18
Carnot-Kreislauf: Folgerungen III
∆Q34
∆Q12 + ∆Q34
= 1−
∆Q12
∆Q12
nRTk ln
>
{ 0
zu zeigen
als Übung
15. November 2004
geleisteteArbeit
η=
hinein gesteckte Wärme
w
+ ∆Q34
17
1
4
12
V
Wirkungsgrad η der
Wärmekraftmaschine
=
∫ δQ = ∆Q
Adiabaten
(kein Wärmeübergänge δq=0)
Carnot-Kreislauf: Folgerungen II
Isothermen (T=const)
w
4
f
15. November 2004
dU (T ) = δQ − pdV
≠0
d.h. dem System wird insgesamt
Wärme zugefügt, womit es Arbeit leistet
2
w
4
≠0
da U Zustandsvariable
1
Arbeitsleistung -pdV am System
erhöht innere Energie U
2
∫ dU (T ) ≡ 0
δQ = ∫ δA
∫{
{
V
Adiabaten
(kein Wärmeübergänge δq=0)
S≥
δQ
T
ηCarnot > η{
⇒
real
{ ∫
123
Übung
reversibel
irreversibel
δQirrev
T
<0 .
In einem abgeschlossenen System (δQ=0)
bleibt die Entropie konstant
oder2004
nimmt
15. November
20 zu
5
Thermodynamische Potentiale und
spezifische Wärme
Carnot-Kreislauf: Folgerungen ...
dU (T ) = δQ − pdV
Isothermen (T=const)
p
1
2
w
4
3
k
ƒ 2. Hauptsatz der Thermodynamik:
Wärme kann nicht vollständig in Arbeit
umgesetzt werden. Es muss immer
Wärme von einem warmen Reservoir in
ein kälteres Reservoir gebracht werden.
ƒ Die Atmosphäre funktioniert wie eine
Wärmekraftmaschine: Unter hohem
Druck wird Wärme zugeführt (am
Boden, durch Wärmeflüsse), unter
niedrigem Druck (oben, durch
Ausstrahlung) wieder abgeführt
ƒ Formulierung des 1. Hauptsatzes mit
der Entropie
V
Adiabaten
(kein Wärmeübergänge δq=0)
du (T ) = Tds − pdα
1. Hauptsatz der Thermodynamik:
Die innere Energie u ist eine Funktion der unabhängigen Variablen Entropie s und
spezifisches Volumen α.
u = f ( s, α )
Ihr vollständige Differential bezeichnen wir
als thermodynamisches Potential
∂u
= −p
∂α s
f = u - Ts
df = d (u − Ts )
= du − d (Ts )
= Tds − pdα − Tds − sdT
21
∂u
=T
∂s α
Andere unabhängige Variable durch Legendre-Transformation
z.B. ersetze s→T durch freie Energie f
= − pdα − sdT
15. November 2004
du = Tds − pdα
f = f (T , α )
15. November 2004
22
Thermodynamische Potentiale
Analoges Vorgehen für
Enthalpie h (dabei wird α durch p ersetzt) und
Freie Enthalpie g (α durch p und s durch T ersetzt)
du = Tds − pdα
Innere Energie : u ( s, α )
Enthalpie :
h ( s , p ) = u + pα
du = Tds − pdα
dh = Tds + αdp
Freie Energie : f (T , α ) = u − Ts
Freie Enthalpie : g (T , p ) = u − Ts + pα
df = − sdT − pdα
dg = − sdT + αdp
ƒ Damit ergeben sich insgesamt vier Potentiale thermodynamischer Systeme.
ƒ Die geeignete Darstellung des 1. HS richtet sich nach der behandelten
Problematik, z.B. wir die Enthalpie oder die freie Enthalpie gewählt, wenn die
Druckänderung bekannt oder konstant ist.
ƒ Die freie Enthalpie wird auch als Gibb'sche Energie bezeichnet
15. November 2004
23
6