Einführung in die Meteorologie - Meteo Uni Bonn

Einführung
in die Meteorologie
- Teil II: Meteorologische
Elemente Clemens Simmer
Meteorologisches Institut
Rheinische Friedrich-Wilhelms Universität Bonn
Sommersemester 2006
Wintersemester 2006/2007
II Meteorologische Elemente
II.1 Luftdruck und Luftdichte
II.2 Windgeschwindigkeit
II.3 Temperatur
II.4 Feuchte
II.5 Strahlung
II.3 Temperatur
1.
Thermodynamische Systeme
•
thermodynamische Systeme
•
0-ter Hauptsatz der Thermodynamik
•
Zustandsgrößen, Arbeit
2.
1. und 2. Hauptsatz der Thermodynamik
•
Carnot-Kreislauf
3.
Potentiale und spezifische Wärme
4.
5.
Messskalen
Vertikalbewegungen
•
6.
7.
Potentielle Temperatur
Fluss fühlbarer Wärme
Temperaturmessung
II.3.1 Thermodynamische Systeme
Bei einem Luftvolumen interessiert uns meteorologisch nicht das einzelne
Molekül und dessen Position und Bewegungszustand. Wir interessieren uns
nur für deren relevante statistische Eigenschaften und die gegenseitigen
Abhängigkeiten dieser statistischen Eigenschaften.
Dies ist der Ansatz der statistischen Physik: Hier betrachten wird das
Luftvolumen als ein sogenanntes thermodynamisches System.
Thermodynamische Zustandsgrößen beschreiben ein thermodynamisches System
z.B. p, T, V, n, innere Energie, …i.a. nicht unabhängig (siehe Gasgleichung)
Gleichgewichtszustand
p(t)=const, T(t)=const, …alle Zustandsgrößen sind zeitlich konstant
Teilgleichgewichtszustand
z.B. T(t)=const
thermisches Gleichgewicht
Was ist Temperatur?
• Thermodynamik – Makro-Sicht, Masse+Volumen
– Temperatur ist eine Zustandsgröße der Luft
• die den Wärmeenergieinhalt (innere Energie) beschreibt,
• die wichtig ist für die Richtung des Wärmetransports
• Statistische Physik – Mikro-Sicht, Moleküle
– Temperatur ist proportional zur mittleren kinetischen
Energie der Moleküle (~v²)
– Zeigt die Grenzen der Thermodynamik auf (Temperatur
verliert ihren Sinn, wenn einzelne Moleküle betrachtet
werden
0-ter Hauptsatz der Thermodynamik
Die Temperatur kennzeichnet den Wärmezustand eines
thermodynamischen Systems. Sind zwei Systeme
miteinander in Kontakt, so ändert sich ihre Temperatur nur
dann nicht, wenn diese gleich sind.
Temperatur ist eine Zustandsgröße eines
thermodynamischen Systems
Im thermodynamischen
Gleichgewicht ändert sich die
Temperatur nicht
Zustandsgrößen (a)
Es sei der thermodynamische Zustand
durch k Zustandsgrößen eindeutig
bestimmt. Eine weitere Größe T ist
dann ebenfalls eine Zustandsgröße,
wenn gilt:
Beispiel ideales Gas (k=2):
T = T(p,V) = pV/(nR*)
p
T(p,V)
∆T = dT = 0
entlang
geschlossenem
Weg
d.h. wenn bei einem beliebigen geschlossenen Weg des Systems im
durch die k Zustandsgrößen aufgespannten Zustandsraum T wieder
den gleichen Wert annimmt, oder wenn T eindeutig über die k
Zustandsgrößen definiert ist.
V
Zustandsgrößen (b)
Alternativ ist die Feststellung, dass T
genau dann eine Zustandsgröße ist, wenn
sie sich als totales Differenzial von
Zustandsgrößen darstellen lässt, die ein
thermodynamisches System vollständig
beschreiben.
Beispiel: T = f(p,V)
∂T
dp
∂T
∂T
p
∂
dT =
dp +
dV =
⋅
∂T
dV
∂p
∂V
∂V
= ∇T ⋅ ds
p
dp
ds
dV
V
Achtung: Hier bezeichnen wir mit d
nicht die Änderung eines mit dem
Wind bewegten Volumens – eine
Inkonsistenz im Bezeichnungssystem
in der Meteorologie, leider. Auch der
Nabla-Operator ist hier anders zu
verstehen. Die Raumkoordinaten des
Partikels sind ausgetauscht durch
andere – allgemeinere – Koordinaten,
die den Zustand eines Systems
beschreiben.
(Ausdehnungs)Arbeit eines Gases
V
V+ V
p V = (Kraft/Fläche) x Volumen = Kraft x Weg = A (Arbeit)
Dehnt sich ein Luftvolumen aus und verschiebt dabei
angrenzende Luftvolumina gegen den dort herrschenden Druck,
so leistet die Luft Arbeit an der Umgebung.
Infinitesimal, d.h. sehr kleine Volumenänderungen ( V 0): A
A=pdV
Achtung: Wir benutzen A anstatt dA, weil „d“ vollständigen Differentialen,
d.h. Zustandsgrößen wie der Temperatur vorbehalten ist
Übung zu II.3.1
1. Vollziehe mit unterem Diagramm das geschlossene Linienintegral
der Ausdehnungsarbeit eines Gases nach:
2
3
4
1
1
2
3
4
δA = pdV = pdV + pdV + pdV + pdV
δA = ?
δA = p2 (V2 − V1 ) − p1 (V2 − V1 ) > 0
also leistet das Gas Arbeit in
p
p2
1
2
p1
4
3
VV
V1
diesem " Kreisprozess"
δA ≠ 0 ,
2
2. Schreibe mit Hilfe der Gasgleichung den Druck als vollständiges
Differential von T und ; also dp=xdT+yd (bestimme x und y).
II.3.2 Erster und zweiter Hauptsatz
der Thermodynamik
•
•
•
•
Ausdehnungsarbeit und Temperatur
1. Hauptsatz der Thermodynamik
adiabatische Zustandsänderungen
Carnot-Kreisprozess
– Entropie
– 2. Hauptsatz der Thermodynamik
Quelle der Ausdehnungsarbeit und Auswirkung
auf die Temperatur
Bei fester Wand ändern auftreffende Luftmoleküle nur ihre
Richtung; ihre kinetische Energie bleibt konstant und damit
auch die Temperatur im Volumen.
Bewegt sich die Wand z.B. durch den Druck der Luftmoleküle
nach rechts, so haben die reflektierten Luftmoleküle eine
geringere kinetische Energie; da die Temperatur proportional
zur mittleren kinetischen Energie eines Luftmoleküls ist
nimmt die Temperatur im Volumen ab.
Ausdehnung eines Gases gegen einen äußeren Druck führt zur
Abnahme der Temperatur des Gases.
Die Temperatur hängt mit der inneren Energie des Gases zusammen. Es gibt
also eine Umwandlung zwischen innerer Energie und Ausdehnungsarbeit (
Erster Hauptsatz der Wärmelehre)
1. Hauptsatz der Thermodynamik
1. Führt man einem idealen Gas die Wärmemenge Q zu,
so kann das Gas diese in (Ausdehnungs-)Arbeit A und
innere Energie U umwandeln: Q = A + U
2. Die Ausdehnungsarbeit eines idealen Gases ist gegeben
durch A=p V
3. Die innere Energie eines idealen Gases ist nur von der
Temperatur abhängig U=U(T)
4. Wir führen spezifische Größen ein, also Q q=Q/m,
A a=A/m, U u=U/m mit m Masse
du (T ) = δq − pdα
δa
oder dU (T ) = δQ − pdV
δA
Bezeichnungen
• Eine Zustandsänderung eines
thermodynamischen Systems wird als
adiabatisch bezeichnet, wenn keine
Wärmezu- oder –abfuhr erfolgt, also Q=0
oder q=0 .
• Erfolgt die Zustandsänderung ohne diese
Einschränkung, so spricht man von
diabatischen Zustandsänderungen.
Beispiel Carnot-Kreislauf (a)
dU (T ) = δQ − pdV
1 → 2 isotherme Expansion (warm)
dU (T ) ≡ 0 (da U nur von T abhängt)
= δQ − pdV
>0
δQ > 0
Wärmezufuhr
Isothermen (T=const)
p
1
δQ = pdV
PV = nR *T
2
2
4
3
Adiabaten
(kein Wärmeübergänge)
=
V
nR *Tw
dV
V
δQ = ∆Q12 = nR *Tw
1
2
1
2
dV
= nR *Tw d ln V
V
1
V2
= nR Tw (ln V2 − ln V1 ) = nR Tw ln
V1
*
*
Beispiel Carnot-Kreislauf (b)
2 → 3 adiabatische Expansion (großes V )
δQ ≡ 0 (abgeschlossenes System)
dU (T ) = −
pdV
dU (T ) = δQ − pdV
>0
dU < 0
Temperaturabnahme
Isothermen (T=const)
p
1
Arbeitsleistung pdV des Systems
auf Kosten der inneren Energie U
2
4
3
Adiabaten
(kein Wärmeübergänge)
V
Einschub : Gleichverteilungssatz (später genauer)
n Mole des Gases
f Freiheitsgrade eine Moleküls
→ U (T ) =
1
2
fnR *T , dU =
→ 12 fnR *dT = − pdV
1
2
=
Gasgleichung
fnR *dT
− nR*T
dV
V
2
2
2
f dT
dV
f
→
=−
, d ln T = − d ln V → TkV3 = TwV2 f
2 T
V
f
Beispiel Carnot-Kreislauf (c)
dU (T ) = δQ − pdV
3 → 4 isotherme Kompression (kalt)
dU (T ) ≡ 0 (da U nur von T abhängt)
= δQ − pdV
>0
δQ < 0
Wärmeabfuhr
Isothermen (T=const)
p
1
δQ = pdV =
PV = nRT
2
4
4
nRTw
dV
V
δQ = ∆Q34 = nR*Tk
3
3
Adiabaten
(kein Wärmeübergänge)
V
4
3
= nR *Tk ln
V4
V3
4
dV
= nR *Tk d ln V
V
3
Beispiel Carnot-Kreislauf (d)
dU (T ) = δQ − pdV
4 → 1 adiabatische Kompression (kleines V )
δQ ≡ 0 (abgeschlossenes System)
dU (T ) = −
pdV
<0
dU > 0
Temperaturzunahme
Isothermen (T=const)
p
1
Arbeitsleistung − pdV am System
erhöht innere Energie U
2
TkV4
4
3
Adiabaten
(keine Wärmeübergänge)
V
2
f
= TwV1
2
f
zusammen mit TkV3
V2 V3
=
V1 V4
2
f
= TwV2
2
f
folgt
Carnot-Kreislauf
dU (T ) = δQ − pdV
Isothermen (T=const)
p
1
Folgerung 1 :
dU (T ) ≡ 0 da U Zustandsvariable
δQ = δA
≠0
≠0
δQ = ∆Q12 + ∆Q34 > 0
zu zeigen
als Übung
2
4
3
Adiabaten
(keine Wärmeübergänge)
V
d.h. dem System wird insgesamt
Wärme zugeführt,
womit es Arbeit leistet
Carnot-Kreislauf
Folgerung 2 :
dU (T ) = δQ − pdV
Wirkungsgrad der Wärmekraftmaschine
geleisteteArbeit
η=
Isothermen (T=const)
hinein gesteckte Wärme
p
1
∆Q34
∆Q12 + ∆Q34
=
= 1−
∆Q12
∆Q12
2
4
Adiabaten
(keine Wärmeübergänge)
= 1−
nRTk ln V2
V3
V1
Tk
= 1−
Tw
3
nRTw ln
V
< 1 , umso größer
V4
je größer die Temperaturdifferenz
Carnot-Kreislauf
dU (T ) = δQ − pdV
Folgerung 3 :
Definition der Entropie
δQ = ∆Q12 + ∆Q34 ≠ 0 , aber
δQ
T
Isothermen (T=const)
p
1
=
∆Q12 ∆Q34
+
≡0
Tw
Tk
Definition Entropie : S =
δQ
T
S ist eine Zustandsgröße
Anmerkung : der Carnot - Kreislauf ist eine
Idealisierung (Annahme : thermisches
2
Gleichgewicht).
4
3
Adiabaten
(keine Wärmeübergänge)
V
Es gilt : η Carnot > η real
reversibel
also dS ≥
irreversibel Übung
δQirrev
T
<0
δQ
T
In einem abgeschlossenen System ( Q = 0)
bleibt die Entropie konstant oder nimmt zu.
Carnot-Kreislauf
dU (T ) = δQ − pdV
Isothermen (T=const)
p
1
2
4
3
Adiabaten
(keine Wärmeübergänge)
V
Folgerung 4 :
2. Hauptsatz der Themodynamik :
Wärme kann nicht vollständig in
Arbeit umgesetzt werden.
Folgerung 5 :
Die Atmosphärefunktioniert wie
eine Wärmekraftmaschine: Unter
hohem Druck wird Wärme zugeführt
(am Boden durch Wärmeflüsse),
unter niedrigem Druck (oben, durch
Ausstrahlung) wieder abgeführt.
Folgerung 6 :
Neue Formulierung des 1.HS :
du(T ) = Tds − pdα
Übungen zu II.3.2
1.
2.
3.
Zeige, dass beim beschriebenen Carnot-Kreislauf (Folgerung
1) insgesamt Wärme zugefügt wird.
Zeige, dass beim beschriebenen Carnot-Kreislauf das
Linienintegral über Q/T bei irreversiblen Prozessen nicht
verschwindet (Folgerung 3)
Versuche eine qualitative nur schematische Darstellung einer
idealisierten Hadley-Zirkulation im p-V-Diagramm. Dabei fließt
Luft am Boden von den Hochdruckgebieten der Subtropen zu
der tropischen Tiefdruckrinne und erwärmt sich dabei durch
Wärmeaufnahme vom Untergrund leicht. Dort steigt sie
adiabatisch auf und fließt dann zurück unter leichter
Druckabnahme und Temperaturabnahme (durch Abstrahlung
in das Weltall) zu den Subtropen, wo sie wieder adiabatisch
zum Boden sinkt.
II.3.3 Thermodynamische Potentiale und
spezifische Wärme
• Bislang hatten wir den Zustand eines thermodynamischen Systems immer im pV-Diagramm dargestellt (siehe Carnot-Kreisprozess).
• Im p-V- Diagramm können wir über die ideale Gasgleichung die Temperatur T
eines idealen Gases eindeutig darstellen (Isothermen im p-V-Diagramm).
• Der 1. Hauptsatz als totales Differential du=Tds-pd gibt uns eine andere
Möglichkeit der 2-dimensionalen Zustandsdarstellung eines thermodynamischen
Systems, nämlich die innere Energie im s- -Raum.
• Eine energetische Zustandsdarstellung (u hat die Einheit einer spezifischen
Energie, J/kg) wird bevorzugt, weil dann der Satz der Energieerhaltung
unmittelbar anwendbar ist (z.B. Änderungen müssen durch Zu-/Abfuhr anderer
Energien bewirkt werden.
• Energetische Zustandsvariable werden auch als thermodynamische
Potentiale bezeichnet.
Mit du = Tds − pd
1. T =
∂u
∂s
≡
also u = u(s, )
können folgende Beziehungen abgeleitet werden :
∂u
∂u
∂u
≡
, −p=
da du vollständiges Diff. bzw. Definition part. Ableit.
∂s
∂ s ∂
∂ 2u
∂ 2u
∂T
≡
→
2.
∂s∂
∂ ∂s
∂
=−
s
∂p
∂s
sogenannte thermodyna mische Relationen
Weitere thermodynamische Potentiale
Die innere Energie ist offensichtlich eine adäquate Beschreibung eines
thermodynamischen Systems, wenn man seinen Zustand in Abhängigkeit von der
Entropie s und seinem spezifisches Volumen betrachtet.
Oft sind andere Darstellungen zweckmäßig, z.B. im T- -Raum; dies erhält man
durch Anwendung der sog. Legendre-Transformation.
Ersetze s durch T durch Definition der freien Energie f = u - Ts
→ df = d (u − Ts ) = du − d (Ts ) = Tds − pdα − Tds − sdT
= − pdα − sdT → f = f (T ,α )
Analog erhalten wir für α → p
Enthalpie h(s, p)
freie Enthalpie g(T,p) , also insgesamt :
und s → T ∧ α → p
Innere Energie : u (s,α )
h ( s, p ) = u + p α
Enthalpie :
f (T ,α ) = u − Ts
Freie Energie :
du = Tds − pd α
dh = Tds + α dp
df = −sdT − pd α
Freie Enthalpie : g (T , p ) = u − Ts + p α dg = −sdT + α dp
Damit haben wir drei weiter thermodynamische Potentiale, die zur Behandlung
thermodynamischer Probleme verwendet werden können.
Wenn wir z.B. den Sättigungsdampfdruck des Wasserdampfes, der nur von der
Temperatur abhängt behandeln (e*=e*(T)), werden wir die freie Enthapie
verwenden.
Spezifische Wärmen c
Wärmeenergiezufuhr pro Massen- und
Temperatureinheit, [c]=J/(kg K)
i.a. vom Weg, z.B. bei Gasen von Annahmen über p und
abhängig
spezifische Wärme bei konstantem Volumen cv
cv ≡
δq
dT
=
α
Tds
du
=
dT α dT
≡
α
du
dT
da du = Tds-pd
und u = u (T )
spezifische Wärme bei konstantem Druck c p
cp ≡
δq
dT
p
Tds
=
dT
p
dh
≡
dT
u = cvT
h = c pT
da dh = Tds + dp und h = h(T )
Joule-Kelvin-Prozess
Vakuum
u (T = 0) = 0
h(T = 0) = 0
p
dh
=
dT
T bleibt konstant
Beziehung zwischen cv und cp
Tds = du + pdα
= cv dT + d ( pα ) − αdp
mittels Gasgleichung
= cv dT + RdT − αdp
= (cv + R )dT − αdp
≡ dh − αdp
wegen 1. H.S. dh = Tds + dp
= c p dT − αdp
Luft :
c p = 1004 J/(kgK)
cv = 717
J/(kgK)
RL = 287
J/(kgK)
c p − cv = R
cp
2
2
= 1 + = 1 + = 1,4
5
cv
f
f Anzahl der Freiheitsgrade
(Nachweis übernächst e Seite)
Freiheitsgrade
= unabhängige Bewegungsmöglichkeiten eines
Teilchens, mit denen es innere Energie speichern kann
Jedes Molekül besitzt drei Translationsfreiheitsgrade entsprechend
den drei Raumrichtungen, in die es sich bewegen kann.
Zweiatomige Moleküle besitzen zusätzlich
zwei Rotationsfreiheitsgrade
mit Achsen senkrecht zur Verbindungsachse
Dreiatomige nichtlineare Moleküle besitzen drei Rotationsfreiheitsgrade
Hinzu kommen Vibrationsfreiheitsgrade; einer
beim zweiatomigen Molekül, drei bei einem
dreiatomigen Molekül. Diese sind aber bei den
Atmosphärentemperaturen wenig „aktiviert“.
Da Luft i. W. aus 2-atomigen Molekülen besteht
hat sie 5 Freiheitsgrade.
cp
2
= 1+
cv
f
Beweis von
Gleichverteilungssatz :
Pro Freiheitsgrad beträgt die Energie eines Moleküls
E = 1 k BT mit k B = 1,3806 × 10- 23 J/K Boltzmann - Konstante
2
Dann folgt
E= f
2
k BT = f
dEmol = f
2
de = du = f
cv = du
dT
R * T , J / Molekül mit L Loschmidtsche Zahl
L
2
R *dT
2
= f
R*
2
, J / Mol
M
R*
dT
M
, J / kg
mit M Molmasse
*
R
, c p = cv +
*
R
=
M
M
1+ f
2
cp
cv
= 1− f
2
Übungen zu II.3.3
1.
2.
Leite die Formulierungen des 1. Hauptsatzes für
Enthalpie und freie Enthalpie ab.
Bestimme cp und cv für Luft unter der Annahme,
dass diese nur aus Wasserdampf besteht.
II.3.4 Definition der Temperatur und
ihrer Maßskalen
•
•
•
•
•
0-ter Hauptsatz
Gasthermometer (über Gasgleichung)
Gaskinetische Deutung
2. Hauptsatz der Thermodynamik
Empirische Temperaturskalen (Celsius, Kelvin etc.)
0-ter Hauptsatz
Temperatur ist eine Zustandsgröße.
+
Im thermischen Gleichgewicht haben alle Körper die gleiche
Temperatur.
Damit kann die Temperaturmessung erfolgen, in dem man einen
Probekörper, dessen Temperatur man irgendwie messen kann,
in den zu messenden Körper, z.B. die Luft, einbringen und so
lange wartet, bis sich die Temperatur nicht mehr ändert.
TP
TK
Prinzip des Gasthermometers
nR* T
Gasgleichung : pV = nR T
*
2 Zustände mit n = const
p,V,T und p0 ,V0 ,T0
i) p = p0 = const
→ T = T0
ii) V = V0 = const
V
V0
Rechten Schenkel
senken bis beide
Flüssigkeitsspiegel auf
gleicher Ebene sind.
Dann ist Innendruck
gleich dem äußerem
Luftdruck. Dann kann die
Volumenänderung (V)
bestimmt werden und
damit T.
T p0
V
p
=
=
T0 p
V0 nR * T0
p0
→ T = T0
T0
T0+ T
T=T0
p
p0
Rechten Schenkel
heben bis linker
Flüssigkeitsspiegel
wieder auf ursprünglicher
Höhe ist. Dann ist V=V0.
Dann kann die
Druckänderung (p) über
die Höhe der Säule
bestimmt werden und
damit T.
Gaskinetische Deutung der Temperatur
Ekin
m 2 3
= v = k BT
2
2
mittlere kinetische Energie der
Moleküle , T = 0 → v = 0
2. Hauptsatz – Carnot-Kreisprozess
∆q1 ∆q2
=
T1
T2
∆q1 T1
=
∆q2 T2
beim reversiblem Kreisprozess
Stoff - unabhängige Messung der Temperatur durch Bestimmung der
Wärmeflüsse.
Empirische Temperaturskalen
Celsius - Skala :
0°C = 273,15 K
Fahrenheit − Skala : 0° F = -17 ,78°C , 100° F = 37°C (Körpertemperatur des Menschen)
[°F] = 9 5 [°C ] + 32 , [°C] = 5 9 ([°F ] − 32)
Reaumur − Skala : 0°C = 0° R , 100°C = 80° R
Übungen zu II.3.4
• Um wieviel % seines Volumens dehnt
sich ein Luftvolumen aus, wenn es
isobar von 0°C auf 27°C erwärmt wird?
• Wie schnell ist im Mittel ein
Sauerstoffmolekül, wenn die
Lufttemperatur 20°C beträgt?
II.3.5 Temperaturänderung der Luft
bei Vertikalbewegungen
•
•
•
•
•
•
•
Adiabatische Form des 1. HS der Thermodynamik
Poisson-Gleichung
Potentielle Temperatur
Temperaturprofil in der turbulenten Grenzschicht
Adiabatischer Temperaturgradient
Energiebetrachtung beim Aufsteigen
Potentielle Temperatur und Entropie
Problemstellung
Wir betrachten die Temperaturänderung eines Luftvolumens, das wir in
der Atmosphäre (Umgebungu) nach oben oder unten verschieben.
Annahmen:
1. „trocken“: keine Kondensation von Wasserdampf
2. adiabatisch: keine Wärmeleitung, Strahlungserwärmung oder
Strahlungsabkühlung, oder Diffusion, also q=0
3. Instantaner Druckausgleich mit der Umgebung, p=pu
du (T ) = − pdα 1. HS für adiabatische Prozesse :
Ausgle ich zwischen Innerer Energie
und Ausdehnun gsarbeit
4. Beim Aufsteigen nimmt nach der statischen
Grundgleichung dpu=- ugdz der Druck in der
Umgebung (und im Luftvolumen p) ab.
5. Nimmt dabei die Dichte ab (und damit zu),
so leistet das Gas Ausdehnungsarbeit auf
Kosten der inneren Energie u: diese (und mit
u=cvT auch die Temperatur T) nehmen ab.
Tu(z) aktuelles
Temperaturprofil
z
T − ∆T
dT
=?
dz
T
T + ∆T
T
zunächst: Temperaturänderung mit dem Druck
- Poisson-Gleichung adiabatisch
δq = dh − αdp ≡ 0
cpdT = αdp =
RLT
dp
p
mit dh = cpdT undα =
RLT
Poisson − Gleichung
p
mit Variablentrennung
RL
dT
dp
= RL
, cpd lnT = RLd ln p
mitIntegration
cp
T
p
T R p
R
lnT2 − lnT1 = L (ln p2 − ln p1 ) , ln 2 = L ln 2 mit exp()
T1 cp p1
cp
0
T
p
0
-pk
cp
= k = 0,286
p
p0
k
StüweDiagramm
300
500
1000
cp
p2
p1
T ( p ) = T ( p0 )
TrockenAdiabaten
-p
T2
=
T1
RL
dT
dp
T
=∞
p =0
1000
T
Definition der Potentiellen Temperatur
= Temperatur, die ein Luftvolumen annimmt, wenn es adiabatisch
auf einen Referenzdruck po (meist 1000 hPa) gebracht wird.
Berechnung :
Setze in Poisson - Gleichung
-p
0
pA
p2 = p0
A
T2 ≡ θ
pB
p0
A
TB
Temperatur bei
Referenzdruck
p1,T1 → p,T beliebig
B
TA
Referenzdruck
B
T
p0
θ =T
p
RL
cp
Die potentielle Temperatur ist eine Konstante (konservative
Größe) bei adiabatischen Bewegungen eines Luftvolumens.
Adiabatischer Temperaturgradient
cpdT = αdp
=
1
ρ
dT
dz
ad
1.HS für adiabatische Bewegung(mit Enthalpie)
z
(− ρu gdz)
dT
dz
mit dp ≡ ∂pu = −ρu g∂z = −ρu gdz
∂Tu
∂z
ad
instantaner Druckausgleich mit Umgebung
=−
RLT pu
T
gdz = − gdz wieder mit p = pu
p RLTu
Tu
dT
→
dz
ad
T g
=−
Tu c p
g
≅−
cp
= −0,98 K/100m
Tu
z
g
−
cp
T
>1
Tu
T
T
<1
Tu
T
T
Temperaturprofil bei Durchmischung
a) Atmosphäre sei in Ruhe.
Sie werde vom Boden (bei
T0) durch Wärmeleitung etc.
angeheizt.
Strahlungsprozesse in der
Atmosphäre seien
vernachlässigbar.
b) Einsetzen von Turbulenz
und damit vertikale
Durchmischung, die
innerhalb der Atmosphäre
adiabatisch erfolgen soll.
z
z
T0
T
T(z)=T0=const
im thermischen Gleichgewicht
T0
T
Adiabatisches Profil stellt
sich ein mit T0 als
Temperatur in Bodennähe.
Energiebetrachtungen beim Aufsteigen
c p dTad = αdp ≅ −gdz
Integratio n
→ c p (T − T0 ) + g ( z − z0 ) = 0
c pT0 = c pT + g ( z − z0 ) wähle z0 als Referenzhöhe
c pθ = c pT + g ( z − z0 )
const
Enthalpie
potentielleEnergie
Beim adiabatischen Aufstieg/Abstieg wird Enthalpie in
potentielle Energie umgewandelt und umgekehrt.
Aus der 1. Form des 1. HS mit der inneren Energie u folgte,
dass bei adiabatischen Bewegungen innere Energie in
Ausdehnungsarbeit umgewandelt wird bzw. umgekehrt.
cp - und damit auch die potentielle Temperatur - sind
Konstanten (konservative Größen) bei adiabatischen
Umlagerungen.
Entropie s und potentielle Temperatur
δq = c p dT − αdp
δq
1
dT
≡ ds = c p
−
dp
ρT
T
T
ds = c p d lnT − RL d ln p
ds ≡ c p d lnθ
p
θ =T 0
p
lnθ = lnT +
RL
RL
cp
cp
ln
p
p0
c p lnθ = c p lnT − RL ln p − RL ln p0
const
c p d lnθ = c p d lnT − RL d ln p
T
δq = Tds = c pTd lnθ = c p dθ ≈ c p dθ
θ
~1
Wärmezu und –abnahmen sind in etwa proportional zur Änderung der
potentiellen Temperatur – und nicht der thermodynamischen Temperatur!!!
Übungen zu II.3.5
1.
2.
3.
4.
Zeige dass bei adiabtischen Zustandsänderungen gilt
dT/dp|p=0 = .
Ein Teilchen habe bei 500 hPa die Temperatur – 20°C.
Welche Temperatur hätte es bei adiabatischer Bewegung auf
1000 hPa?
Wie ändert sich in einer isotherm geschichteten Atmosphäre
die potentielle Temperatur mit der Höhe?
In 800 hPa habe ein Luftvolumen von 1 kg Masse die
Temperatur 0°C. Es sinke adiabatisch auf 1000 hPa ab. Dort
erhöhe sich danach seine Temperatur isobar um 5 K. Welche
Temperatur und welche potentielle Temperatur hat dann das
Teilchen? Um wie viel haben sich seine vier
massenspezifischen thermodynamischen Potentiale
geändert?
II.3.6 Fluss fühlbarer Wärme
•
•
•
•
•
Die Atmosphäre wird wesentlich durch ihren Kontakt mit der
Erdoberfläche erwärmt.
Direkt an der Erdoberfläche (wenige mm) geschieht das durch
Wärmediffusion. Diese lässt sich wegen der Inhomogenität des
Untergrundes nicht messen.
Oberhalb dieser sehr dünnen Schicht erfolgt der
Wärmetransport i.w. durch Turbulenz; dieser Transport lässt
sich, wie im letzten Kapitel diskutiert, durch hochfrequente
Messung von Temperatur und Vertikalgeschwindigkeit direkt
messen (oder aus dem Temperatur- und Windprofil
abschätzen).
w‘T‘ ist nicht die geeignete Formulierung für den
Wärmetransport, da sich T durch adiabatische Druckänderung
mit der Höhe verändert, ohne dass Wärme transportiert wird.
w‘ ‘ ist die geeignete Formulierung, da die potentielle
Temperatur eine Konstante bei adiabtischen Abläufen ist.
Wärmehaushaltsgleichung
- Vereinfachung durch potentielle Temperatur dh = c p dT = Tds + αdp
Än derung der Enthalpie im Volumenel ement
1.HS
dh
= cp
dt
→
dT
ds
dp
=T
+α
Änderun g mit der Zeit
dt
dt
dt
∂T
= + (v ⋅∇ )T
∂t
(
)
∂h
∂T
ds
dp
= cp
= − cp v ⋅ ∇ T + T
+α
Haushaltsgleichung der Enthalpie
∂t
∂t
dt
dt
Advektion in
das Volumen
Quellen + Senken
im Volumen
Vereinfach ung durch potentielle Temperatur (Druckterm dann schon drin! )
c p dθ = c pθd lnθ = θds
cp
(
)
∂θ
= − cp v ⋅ ∇ θ +
∂t
Advektion
,
cp
(
)
dθ
ds
dθ ∂θ
mit
+ v ⋅∇ θ
=θ
=
dt
dt
dt
∂t
ds
θ
dt
=Qu Quellen und Senken ohne Druckterm
Gemittelte Haushaltsgleichung (a)
∂θ
Mittelung von c p
= −c p v ⋅ ∇ θ + Qu
∂t
∂θ
= − cp v ⋅ ∇ θ −
cp
c p ∇ v ′θ ′
→
∂t
(
(
lokale Änderung der
potentiellen Temperatur
)
)
( )
Advektion durch
mittlere Strömung
+ Qu
Divergenz des
turbulente n Flusses von c pθ
gemittelte r
Quellterm
Haushaltsgleichung der fühlbaren Wärme
i ) Qu Erwärmung des Volumens durch innere Reibung
+ Divergenz der Strahlungsflüsse
+ Divergenz der molekulare nWärmeleit ung H mol
H mol = −λ∇T = −c p ρa∇T
mit λ Wärmelei tfähigkeit ( ≅ 0,026 J/(m2s ))
und a = λ
Annahme :
ρc p
Temperatur leitfähigkeit ( ≅ 2 × 10 -5 m 2s )
∂T
= 1 K / m → H mol ≈ 0,026 W/m 2
∂x
sehr klein!
Gemittelte Haushaltsgleichung (b)
∂θ
cp
∂t
lokale Änderung der
potentiell en Temperatur
ii ) c p v ⋅ ∇
(
)
( )
c p ∇ v ′θ ′
= − cp v ⋅ ∇ θ −
Advektion durch
mittlere Strömung
+ Qu
Divergenz des
turbulente n Flusses von c pθ
gemittelte r
Quellterm
Advekti on fühlbarer Wärme (ist bei Divergenzfreiheit des Windfelde s
proportional zur Divergenz des konvektive n Transports
fühlbarer Wärme H konv mit H konv = c p ρ v
ii ) c p∇v ′ ′ ∝ der Divergenz des turbulenten Flusses fühlbarer Wärme
Hturb = ρc p v ′ ′. Ist i.a. schwierig zu messen; daher werden
Parametrisierungsansätze entwickelt analog zu größerskaligen Flüssen.
Gradientansatz : Hturb ≡ − ρc pK∇θ mit K (i.a. >> a) turbulenter
Diffusionskoeffizent
→ H = Hmol + Hturb ≅ Hturb in der freien Atmosphäre
Turbulente Wärmeflüsse und vertikales
Temperaturprofil
A
z
B
:
θ A = θ B → keine Profiländerung, kein Wärmefluss
θ A > θ B → TA nimmt zu, TB nimmt ab, Wärmefluss nach unten
θ A < θ B → TA nimmt ab, TB nimmt zu, Wärmefluss nach oben
∂θ
z
z
T,
= 0 → H = 0 (kein Wärmefluss)
∂z
∂θ
> 0 → H < 0 (abwärts)
∂z
∂θ
< 0 → H > 0 (aufwärts)
∂z
z
T,
T,
Übungen zu II.3.6
• Erläutere warum bei der Bestimmung des
turbulenten Wärmeflusses (Fluss fühlbarer
Wärme) H die potentielle Temperatur und
nicht die Lufttemperatur verwendet werden
muss.
II.3.7 Temperaturmessung
• Prinzipien:
– Temperatur eines Probekörpers im thermischen
Gleichgewicht (direkte Messung)
– Strahlungsmessung und Interpretation nach
Planckschem Strahlungsgesetz (Fernerkundung,
Satelliten)
– Laufzeitmessung des Schalls (Fernerkundung)
• Meteorologisch wichtige Temperaturen:
– Lufttemperatur ( Grundgleichungen)
– Bodentemperatur ( Wärmeaustausch mit Untergrund)
– Temperatur unter besonderen Bedingungen)
•
•
•
•
Feuchtes Thermometer Luftfeuchte
Thermometer unter Sonnenbestrahlung Sonnenstrahlung)
Thermometer über kochendem Wasser Luftdruck)
Temperatur eines beheizten Drahtes Windstärke)
Direkte Messmethoden
i) Flüssigkeitsthermometer:
Prinzip: Ausdehnung von
Flüssigkeiten bei
Temperaturänderungen)
ii) Bimetallthermometer:
Prinzip: Unterschiedliche
Ausdehnung zweier
längs verlöteter
Metallstäbe
iii) Thermoelement:
Prinzip: Verlöten zweier Metalle
mit unterschiedlichen
Austrittsarbeiten für
Elektronen
iv) Widerstandsthermometer:
Prinzip: Widerstand R von
Metallen und
Halbleitern hängt von
der Temperatur ab.
Quecksilber (Hg)
Schmelzpkt, °C
Siedepkt., °C
96% Alkohol
-38,8
-117
+359,7
+78
1
+ 2
kleine große
Austrittsarbeit
++ --
- +
Tk
Metalle : R = R0 (1 + αϑ )
Halbleiter : R = R0e
b
T
Tw
R
R
T
T
Flüssigkeitsthermometer
• …sind (noch) meist verwendet in der Meteorologie
• … benötigen wir jetzt um tieferen Verständnis der
Temperaturmessung die Wärmehaushalts- und
Oberflächenernergiebilanzgleichung
• …daraus folgt die Notwendigkeit der Belüftung eines
Thermometers.
• …und die Bauart des Thermometers bestimmt die
Trägheit (Ansprechzeit).
• Alles gilt auch für die meisten anderen
thermometerarten.
Flüssigkeitsthermometer (1)
Volumen : V (ϑ ) = V (ϑ = 0°C )(1 + βwϑ )
Aufbau:
mit ϑ Temperatur in °C
βw (Hg ) = 18 × 10 −5 K −1
TK
→ nur 1
des Volumens bei ∆T = 50K
100
→ großer Flüssigkeitsbehälter
mit sehr dünn ausgezogenem Schaft
Wärmehaushaltsgleichung
dU
dT
= m ⋅ c ⋅ K , J/s = W
dt
dt
= S ⋅ F ab/zugeführteWärme über Oberfläche F
durch Wärmeflussdichte S, [S ] = W / m 2
U innere Energie der Flüssigkeit
m Masse der Flüssigkeit
c spezifische Wärmekapa zität der Flüssigkeit
Trägheit des Thermomete rs :
mc
F
dT K
dt
möglichst groß,
↑
damit schnelle
möglichst
Angleichun g
klein
an Lufttemper atur
also
TL
m, c klein
F groß
bei empfindlic hen
Thermomete rn
=
S
hängt i.w.
nur von
T -Differenz
Thermomete r
zu Luft
ab
Flüssigkeitsthermometer (2)
4
mc dTK
= S = Si
F dt
i =1
= α L (TL − TK ) turbulente r Fluss fühlbarer Wärme an die Umgebung
mit α L Wärmeüber gangskoeff izient
+ εKK
kurzwellige Strahlungsbilanz
mit ε K kurzwelliges Absorptionsvermögen
TK
und K einfallende kurzwellige Strahlungsflussdichte
+ S(TW − TK ) langwellige Strahlungsbilanz
mit α S Strahlungsübergangszahl
+
(TS − TK )
und TW Umgebungst emperatur (z.B. Wand)
Wärm eleitung aus dem Schaft
mit β Wärmeüber gangskoeff izient
und TS Schafttemp eratur
dTK
=0
Annahme : Stationarität, d.h
dt
1
[ε K K + S(TW − TK ) + (TS − TK )] ≠ 0
TK − TL =
αL
TL
TK
(1- K)K
K
TW
TK
TS
TK
D.h. ist Tk konstant,
so ist Tk nicht
unbedingt die
Lufttemperatur Tl ,
die ich messen will.
Flüssigkeitsthermometer (3)
Um TK ≡ TL (Thermometer zeigt Lufttemperatur an), also
TK − TL =
1
αL
[ε K K +
S
(TW − TK ) +
(TS − TK )] ≅ 0 zu erreichen,
können folgende Maßnahmen getroffen werden :
1) α L muss möglichst groß sein
Mit α L ≅ 3
v
, v Anströmge schwindigk eit
d
d Durchmesse r des Thermomete rs
sollte das Thermomete r belüftet werden
und/oder möglichst klein gehalten werden
2) Die Strahlungsterme können reduziert werden durch Strahlungsschutz
und die Umgebung (Hütte) sollte auf Lufttemper atur gehalten werden
3) Der Schaft sollte ebenfalls möglichst auf Lufttemper atur gehalten werden
(mit in Belüftung einbeziehen) und möglichst dünn sein.
Flüssigkeitsthermometer (4)
- Zeitverhalten des idealen Thermometers 1
mc
F
dTK
F
α L (TL − TK ) ≡ (TL − TK ) mit τ =
=
≅
Trägheitszeit
S
τ
Fα L
dt
mc keine Strahlung, mc
kein Wärmeflus s
ausSchaft
1
τ
Integration (Annahme TL = const) :
dTK
1
= d ln(TK − TL ) = − dt
TK − TL
τ
TK − TL
1
= − (t − t 0 )
ln
τ
TK ,0 − TL
TK − TL = (TK ,0 − TL ) e
T −Differenz
zur Zeit t
−
t
TK
t0
exp
t −t 0
τ
t0
T −Differenz
zur Zeit t 0
Bei t − t 0 = τ → e
−
t −t 0
τ
τ
TL
= e −1 = 0,368 ≈ 1 / 3
also nach einer Zeitdauer von τ ist die ursprüngliche
Temperatur differenz auf ein Drittel abgesunken
0,368(TK ,0 − TL )
t
Übung: Bestimme die
Reduktion in % von TK,0-TL
nach einer Zeitperiode von
2, 4 und 6
Übungen zu II.3.7
Bestimme die Reduktion in % der
Anfangsdifferenz zwischen
Thermometeranzeige und Lufttemperatur Tk,0TL nach einer Zeitperiode des zwei-, vier- und
sechsfachen der Trägkeitszeit des
Thermometers. Wie lange dauert es , bis man
bei einem Thermometer mit Trägheitszeit 3 s
bei einer Anfangsdifferenz von 10 K die
Lufttemperatur mit einer Genauigkeit von 0,1 K
bestimmen kann?